Question

El ángulo de elevación de la cima de una torre es 22°. Si caminamos 12 metros hacia la torre, el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuál es la altura de la torre?.

Answer 1

La altura h de la torre es de 8.14 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base de la torre -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia la torre 12 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la proyección visual hasta la parte superior de la torre vista con un ángulo de elevación de 22°

El triángulo rectángulo ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base de la torre luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 12 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hasta la cima de la torre vista con un ángulo de elevación de 45°

Donde se pide hallar:

La altura h de la torre

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta la base de la torre luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 12 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación

Y dónde la incógnita "h" será la altura de la torre

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" de la torre el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta la torre son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" de la torre es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura de la torre emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (45^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(45^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (22^o) = \frac{h}{x +12} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 12) \ . \ tan (22^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o)= (x + 12) \ . \ tan(22^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o) = x \ . \ tan(22^o) +12 \ . \ tan(22^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o) - x \ . \ tan(22^o) =12 \ . \ tan(22^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ ( tan(45^o) - \ tan(22^o) )=12\ . \ tan(22^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 12 \ . \ tan(22^o) }{ tan(45^o) - \ tan(22^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 12 \ . \ 0.404026225835 }{ 1-0.404026225835 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 4.84831471002 }{ 0.595973774165 } }}$

$\boxed { \bold {x = 8.135 \ metros }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold {x = 8.14 \ metros }}$

La distancia x es de aproximadamente 8.14 metros

Hallamos la altura de la torre

En el segundo avistamiento el triángulo es notable y de 45°, luego los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la altura de la torre será igual que el valor de la distancia hallada de x

Comprobamos

Si

$\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(45^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 12 \ . \ tan(22^o) }{ tan(45^o) - \ tan(22^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 12 \ . \ tan(22^o) \ .\ tan(45^o) }{ tan(45^o)- \ tan(22^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 12 \ . \ 0.404026225835 \ .\ 1 }{ 1 - 0.404026225835 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 4.84831471002 }{ 0.595973774165 } }}$

$\boxed { \bold {h = 8.135 \ metros }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold {h = 8.14 \ metros }}$

La altura h de la torre es de aproximadamente 8.14 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación