El angulo central de un sector circular de radio R es igual a 24° y se desea disminuir en 18° de tal manera que el área no varia, aumentamos el radio una longitud "x". Determine "x"
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
3R=x
..................
Si se disminuye en 18° el ángulo del sector circular, para que su área se mantenga constante, el radio debe aumentar en un valor "x" igual al radio inicial, es decir, el radio aumenta en un valor "x = r".
¿Cómo determinar el Área de un Sector Circular?
Para un sector circular de radio "r", y de ángulo interno "α" (expresado en radianes), el área del sector circular se determina con la expresión:
A = (1/2) * α * r²
¿Cuál es la relación entre Grados y Radianes?
Según la definición, π (pi) radianes equivalen a 180 grados. Mediante esta relación, se puede determinar el valor de 1° como:
1° = (π/180) rad
Por lo tanto, para transformar de grados a radianes, se multiplica el númerp expresado en grados por (π/180°).
π (pi) es una constante numérica cuyo valor es de 3,1416 aproximadamente.
Inicialmente, se deben transformar los grados a radianes antes de calcular las áreas.
- 24° a radianes:
24° = 24° * (π/180°)
24° = (24/180)π
24° = (2/15)π rad
- El sector inicialmente tiene 24°, y se disminuye en 18°, quedando con un valor de 6°.
6° = 6° * (π/180°)
6° = (6/180)π
6° = (1/30)π rad
Luego, el valor del área inicialmente se determina con el ángulo de 24° o su equivalente en radianes, (2/15)π rad:
A = (1/2) * α * r²
A = (1/2) (2/15)π r²
A = (1/15)πr²
Si se disminuye el ángulo en 18°, y se aumenta el radio en una cantidad "x", el valor del área resulta:
A = (1/2) * α * r²
A = (1/2) (1/30)π (x + r)²
A = (1/60)π(x + r)²
Como el área no varía, se pueden igualar las ecuaciones de área planteadas:
(1/15)πr² = (1/60)π(x + r)²
Luego se procede a simplificar la expresión:
(1/15)πr² = (1/60)π(x + r)²
(60/15)r² = (x + r)²
4r² = (x + r)²
√(4r²) = √(x + r)²
2r = x + r
2r - r = x
x = r
Por lo tanto, para que el área se mantenga constante al disminuir en 18° el ángulo, el radio debe crecer una cantidad "x" igual al radio inicial del sector circular.
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