Question

El administrador de una ferretería compra una caja de clavos a un costo de S/ 5, se estima que si vende las cajas a "p" soles, se venderán aproximadamente 4(20-p) cajas cada mes.
a) Determine la utilidad U(p) como una función del precio de venta "p".

b) Calcule el precio de venta "p" que genera una utilidad máxima y determine la utilidad máxima.

c) Trace la gráfica de la función utilidad ubicando el vértice e intersecciones con el eje “p”.

Answer 1

La utilidad esta dada por la función - 4p² + 100p - 400 y la utilidad máxima se obtiene cuando el precio es de $12.5

La utilidad será igual a las ganancias o ingresos de ventas menos los costos entonces tenemos que:

U(p) = p*4*(20 - p) - 5*4*(20 - p)

= 4p*(20 - p) - 20*(20 - p)

= 80p - 4p² - 400 + 20p

= - 4p² + 100p - 400

Utilidad máxima: debemos derivar la función e igualar a cero de esta manera se encuentran los puntos críticos

U'(p) = - 8p + 100 = 0

100 = 8p

p = 100/8 = $12.5

Calculamos la segunda derivada: si el valor es positivo es un mínimo, si es negativo un máximo y si es cero es un punto silla

U''(p) = - 8 es un máximo

La utilidad máxima: entonces sustituimos en la ecuación U(p) a p = 12.5

U(12.5) = - 4*(12.5)² + 100*(12.5) - 400

= -4*156.25 + 1250 - 400

= -625 + 1250 - 400

= $225

C) Intersección con el eje P se da cuando U(p) = 0

- 4p² + 100p - 400 = 0

⇒ p² - 25p + 100 = 0

⇒ (p - 20)*(p - 5) = 0

p = 20 o p = 5

Los puntos son (20,0) y (5,0)

En la imagen adjunta podemos ver la gráfica de la función U(p) y en color azul podemos ver los puntos de intersección con el eje p

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Answer 2

La utilidad U(p) como una función del precio de venta está dada por U(p) = -4p²+100p - 400. La utilidad máxima ocurre para un precio de 12.50 soles. Su valor es de 225 soles.

Tenemos que:

• 5 → Costo de cada caja.
• 4(20-p) → Cantidad de cajas producidas en un mes.
• C(p) = 5·4(20-p) = 20(20-p) → Costo de las cajas.
• I(p) = p·4(20-p) = 4p(20-p) → Ingreso por la venta.

Sabemos que la utilidad es la diferencia entre el Ingreso I(p) y el costo C(p), por tanto:

U(p) = I(p) - C(p)

U(p) =  4p(20-p) - 20(20-p)

U(p) = 80p - 4p² - 400 + 20p

U(p) = -4p²+100p - 400  → Utilidad U(p) como una función del precio de venta "p"

El máximo de una parábola de coeficiente cuadrático negativo ocurre en su vértice, por tanto:

$p_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-100}{2(-4)} = \dfrac{100}{8} = 12.5$

U(12.5) = -4(12.5)²+100(12.5) - 400

U(12.5) = -625+1250 - 400

U(12.5) = 225

La utilidad máxima ocurre para un precio de 12.50 soles. Su valor es de 225 soles.

La gráfica se adjunta en la imagen.