Question

El administrador de una cadena de gimnasios ha pronosticado que su ingreso mensual (en cientos de soles) en el presente año está dado por la función Ip=-2p2+60p+900, donde "p" representa la cantidad de personas que atenderán en el mes en curso. Si la cantidad de personas que atenderán en el mes depende del número de meses “x” que falta para terminar el año según la regla px=39-3x. Determine el ingreso mensual en función del número de meses “x” que falta para culminar el año. Indique el dominio. Calcule el ingreso que se obtendrá en el mes de setiembre. Grafique la función I(x) y determine en qué mes del año se obtiene el mayor ingreso.

Answer 1

Del ingreso pronosticado por el administrador de una cadena de gimnasios se obtiene:

a) La función del ingreso mensual del número de meses "x" y el dominio de esta es:

• I(x) =  - 18x² +  288x - 612
• Dom = R - {13.5; 2.5}

b) El ingreso que se obtendrá en el mes de septiembre es:

    522 soles

c) La gráfica de la función I(x) se puede ver en la imagen adjunta.

   El mes del año se obtiene el mayor ingreso es: Agosto

¿Qué es la utilidad?

La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

U = I - C

Siendo;

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.

        I = p × q

• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.

       C = Cf + Cv

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

a) ¿Cuál es el ingreso mensual en función del número de meses "x" que falta para culminar el año. Indique el dominio?

Siendo:

• I(p) = -2p² +60p + 900
• p(x) = 39 - 3x

Sustituir p(x) en I(p);

I(p(x)) = -2(39 - 3x)² +60(39 - 3x) + 900

I(x) = -2(1521 - 234x + 9x²) + 2340 - 180x + 900

I(x) = -3042 + 468x - 18x² + 2340 - 180x + 900

I(x) =  - 18x² +  288x - 612

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-288\pm\sqrt{288^{2}-4(-18)(-612)}}{2(-18)}\\\\x_{1,2}=\frac{-288\pm\sqrt{38880}}{-36}\\\\x_{1,2}=\frac{288\pm36\sqrt{30}}{36}$

x₁ = 13.5

x₂ = 2.5

Dom = R - {13.5; 2.5}

b) ¿Cuál es el ingreso que se obtendrá en el mes de setiembre?

Evaluar x = 9 en I(x);

I(9) = - 18(9)² +  288(9) - 612

I(9) = 522 soles

c) ¿Cuál es el mes del año se obtiene el mayor ingreso?

Aplicar primer derivada a I(x);

I'(x) = d/dx (- 18x² + 288x - 612)

I'(x) = -36x + 288

Aplicar segunda derivada;

I''(x) = d/dx (-36x + 288)

I''(x) = -36 ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero I'(x);

-36x + 288 = 0

36x = 288

x = 288/36

x = 8 ⇒  Mes de Agosto

Puedes ver más sobre utilidad  y  optimización aquí:

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