Question

El 21 de Junio en el día del
solsticio de verano a las 12: m (medio día), en
una ciudad A la longitud de la sombra de un
palo de 1 m de altura es de 15 cm. Si en otra
ciudad B a la misma hora y sobre el mismo
meridiano la longitud de la sombra es cero.
¿Qué distancia en Km separa las dos ciudades
sobre la superficie de la tierra?

Answer 1

La distancia que separa las ciudades A y B es de 948km.

Empleando el mismo principio hallado por Erastóstenes para medir la circunferencia de la Tierra, se puede calcular, a partir de la altura del palo y de la longitud de la sombra proyectada (ver figura), el ángulo α mediante la relación trigonométrica tangente:

$tan~\alpha= \frac{cat~opuesto}{cat~adyacente}\rightarrow \boldsymbol\alpha=tan^{-1} \frac{cat~opuesto}{cat~adyacente}=tan^{-1} \frac{0,15m}{1m}={\bf 8,53\º}$

Debido a la alternabilidad de los ángulos, los ángulos mostrados en la figura son todos iguales.

Para hallar la distancia entre las ciudades, se calcula la longitud del arco, S, barrido por el ángulo α, mediante:

$\displaystyle {\bf S=\frac{2\pi.R_t.\alpha}{360\º}}$

Donde:

Rt = radio de la tierra = 6.371 km

Sustituyendo datos y resolviendo:

$\displaystyle {\bf S}=\frac{2\pi.6371km.8,53\º}{360\º}={\bf 948~km}$