Question

Ejercita
1 Resuelve las siguientes ecuaciones​

Answer 1

Respuesta:

1) $\frac{x-1}{\sqrt{x}}=x-\frac{5}{2}\quad :\quad x=4,\:x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (Genera dos valores para x)

2) $\sqrt{3\left(16-x\right)}-\sqrt{\left(2x-5\right)}=1$, $x=\frac{2\left(132-\sqrt{399}\right)}{25}$

Explicación paso a paso:

Primero hallamos el mcm de :

$\sqrt{x},\:2:\quad 2\sqrt{x}$

El minimo es el producto y queda como mcm:$\sqrt{x},\:2$

$2\sqrt{x}$

Multiplicamos por el mcm:$\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot \:2\sqrt{x}=x\cdot \:2\sqrt{x}-\frac{5}{2}\cdot \:2\sqrt{x}$

Queda: $2\left(x-1\right)=2\sqrt{x}x-5\sqrt{x}$

Luego simplificamos

Factorizamos la expresion anterior y queda:

$\sqrt{x}\left(2x-5\right)$

Luego reescribimos y queda:

$2\left(x-1\right)=\sqrt{x}\left(2x-5\right)$

Usando sustitucion

$\mathrm{Re\:escribir\:la\:ecuacion\:con\:}\sqrt{x}=u$

$2\left(u^2-1\right)=u\left(2u^2-5\right)$

Resolvemos lo anterior y hacemos intercambio de lados:

$u\left(2u^2-5\right)=2\left(u^2-1\right)$

$\mathrm{Restamos\:}2\left(u^2-1\right)\mathrm{\:de\:ambos\:lados}$

$u\left(2u^2-5\right)-2\left(u^2-1\right)=2\left(u^2-1\right)-2\left(u^2-1\right)$

Simplificamos y queda: $u\left(2u^2-5\right)-2\left(u^2-1\right)=0$

Luego resolvermos por factorizacion y queda lo siguiente

$\left(u-2\right)\left(2u^2+2u-1\right)$

$\mathrm{Utilizamos\:el\:principio\:de\:la\:multiplicacion\:por\:cero:}$

$u-2=0$

Sumamos 2 ambos lados

$u-2+2=0+2$

$u= 2$

Ahora resolvemos la ecuacion : $\mathrm{Resolver\:}\:2u^2+2u-1=0$

Usando formula general para reslver ecuaciones queda como valor:

$u=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\:u=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}, u=2$

$\mathrm{Regresando \:}\:u=\sqrt{x},\:\mathrm{resolvemos\:para}\:x$

$\mathrm{Resolver\:}\:\sqrt{x}=2:\quad x=4$

$\mathrm{Resolver\:}\:\sqrt{x}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

Queda:

$x=4,\:x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ecuacion resuelta

Resolviendo $\sqrt{3\left(16-x\right)}-\sqrt{\left(2x-5\right)}=1$

Sumar  $\sqrt{2x-5}$ambos lados:

$\sqrt{3\left(16-x\right)}-\sqrt{2x-5}+\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{2x-5}$

Simplificamos lo anterior

$\sqrt{3\left(16-x\right)}=1+\sqrt{2x-5}$

Luego elevamos al cuadrado ambos lados y queda:

$\left(\sqrt{3\left(16-x\right)}\right)^2=\left(1+\sqrt{2x-5}\right)^2$

Lado 1: $\mathrm{\:}\left(\sqrt{3\left(16-x\right)}\right)^2$

Lado 2:$\left(1+\sqrt{2x-5}\right)^2$

Simplificando ambos lados queda:

Lado 1: $48-3x$

Lado 2 :  $2x+2\sqrt{2x-5}-4$

Uniendo ambos lados y desarrolando:

$8-3x=2x+2\sqrt{2x-5}-4$

Restar 2x a ambos lados]

$48-3x-2x=2x+2\sqrt{2x-5}-4-2x$

Simplificar

$48-5x=2\sqrt{2x-5}-4$

$8-5x+4=2\sqrt{2x-5}-4+4$

$-5x+52=2\sqrt{2x-5}$

Elevar al cuadrado ambos lado queda:

$\left(-5x+52\right)^2=\left(2\sqrt{2x-5}\right)^2$

Lado 1:$\left(-5x+52\right)^2$

Lado 2:$\left(2\sqrt{2x-5}\right)^2$

Lado 1 elevado al cuadrado queda:  $25x^2-520x+2704$

Lado 2 elevado queda:$8x-20$

Uniendo ambos lados:

$5x^2-520x+2704=8x-20$

Simplificamos la ecuacion anterior y queda :

Resolver ecuacion cuadratica y queda:

$25x^2-520x+2704=8x-20$

$x=\frac{2\left(132+\sqrt{399}\right)}{25},\:x=\frac{2\left(132-\sqrt{399}\right)}{25}$

Aunque hay dos valores solo uno es verdadero el que seria verdadero es:

$x=\frac{2\left(132-\sqrt{399}\right)}{25}$

Listo!