ejercicios de matemáticas, área de una región sombreada
Respuestas a la pregunta
24. Primero recuerda que al trazar todas las diagonales desde un vértice en un polígono regular, se formarán ángulos interiores de igual medida. En este caso, un hexágono tiene ángulos interiores de 120°, por lo que al trazar sus diagonales desde un vértice resultan 4 ángulos de 30° cada uno, y si trazas sólo la diagonal que está en el medio, resultarán dos ángulos de 60°.
Si te fijas, el área sombreada corresponde a 4 triángulos de 30°- 60°- 90°, que si los reordenas formarán dos triángulos equiláteros de lado 2cm.
El área de un triángulo equilátero se calcula como (a²√3)/4 con "a" como la medida de su lado, en éste caso es 2. Entonces (2²√3)/4 = √3, y lo multiplicas por 2, porque el área sombreada equivale a 2 triángulos equiláteros, que da como resultado 2√3cm².
25. Para calcular el área sombreada sólo debes restar el área del triángulo al área de la circunferencia.
El área de la circunferencia se calcula: π·r², por lo que te queda π·4² = 16π.
Para el triángulo es un poco más complicado, debes trazar sus transversales de gravedad (que coinciden con la altura por ser un triángulo equilátero) y recordar que éstas se dividen entre sí en razón 2:1.
Luego te darás cuenta que después de trazar las transversales de gravedad, resultarán pequeños triángulos de lado 2cm. e hipotenusa 4cm. Mediante el teorema de Pitágoras calculas que el otro lado del triángulo pequeño mide 2√3, por lo tanto el lado del triángulo equilátero inscrito es 4√3, con eso puedes calcular su área utilizando la fórmula del ejercicio anterior y te resultará 12√3.
Ahora que tienes el área de la circunferencia (16π) y la del triángulo (12√3), debes restarlas: 16π - 12√3.
Factorizando por 4, obtienes: 4(4π - 3√3).
Espero haya quedado claro y si hay algún error me avisan UwU.
