Ejercicios de funciones que no sean ni inyectivas ni sobreyectivas.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
5.1 Algunas definiciones
Definición: Dados dos conjuntos X y Y , una función definida en X
con valores en Y es una ley, o regla, que le asocia a cada elemento x 2 X
un elemento y del conjunto Y , perfectamente definido y determinado
por x.
El elemento y determinado por x se denota f (x). Se dice que f es la
función y se denota f : X ! Y o bien x 7! f (x)
Para conocer una función es indispensable conocer tres cosas: el conjunto X, que se llama dominio de la función, y se denota por Dom(f ) el conjunto Y , que se llama codominio de la función la «ley» o regla de correspondencia f que permite encontrar el elemento y 2 Y cada
vez que escogemos un elemento x 2 X
Ejemplos
1. Si X es un conjunto cualquiera y y0 2 Y es un elemento cualquiera de Y , entonces f (x) = y0 es
la función constante: f asocia a cada x 2 X el mismo elemento y0 2 Y .
2. Ejemplo de función numérica: si x es un número, f (x) = x2 + 1 es una regla que permite
construir otro número, único, definido por x. Así al número 1 le corresponde 1
2 +1=2, al 2 le
corresponde 2
2 +1=5, al número 8 le corresponde 8
2 + 1 = 65, etc. En este caso el dominio X,
es el conjunto de todos los números reales y el codominio Y también es el conjunto de todos los
números reales
Las funciones numéricas se pueden expresar por fórmulas generalmente, pero hay que tener
cuidado porque las fórmulas dicen cual es la ley, o la regla, pero no especifica, ni el dominio ni
el codominio.
3. La función f (x) = x
x 1
. En este caso el Dominio de f es el conjunto de todos los números
distintos de 1 puesto que la división 1
0
, no tiene sentido. El codominio puede ser todos los
números reales.
4. g(x) = p
x. En este caso, el dominio de g debe ser el conjunto de todos los números positivos,
si queremos que el codominio sean números reales, puesto que si x es negativo p
x daría un
número complejo. La misma fórmula podría definir una función con dominio y codominio en
los números complejos.
Observación: Cuando se define una función numérica por una fórmula, hay que especificar claramente el dominio y el codominio. La misma fórmula puede dar distintas
funciones o no dar ninguna función si se considera definida en diferentes conjuntos
66 Funciones Reales
5. Si X es el interior del segmento OA de la figura 5.1, Y es la semirecta !
Or y P es un punto en la
paralela a !
Or por el punto A. Definimos f : X ! Y enviando cada punto x 2 X a su proyección
y = f (x) sobre Y desde el punto P (P está fijo y P 6= A).
Proyección de x desde P sobre Y
Figura 5.1
6. Es fácil describir una «regla» que no describa completamente el valor asociado a un elemento en
el conjunto dominio. Dicha regla no determinará una función.
Ejemplo, en el conjunto R asignamos a cada x 2 R el elemento positivo y más cercano a x. Si
x > 0 entonces y = x es el número positivo más cercano a x. Pero, por otro lado si x 0, no hay
un elemento positivo más cercano a x y por lo tanto la regla no asigna un valor de y.
Definición: Si f : X ! Y es una función, el conjunto fy 2 Y j y =
f (x) para algun x 2 Xg es el conjunto de todos los valores posibles de
f . Este conjunto se denomina Imagen o Rango de f . Img(f ) = fy 2 Y j y = f (x) para algun x 2 Xg
Definición: Si Img(f ) = Y , se dice que f es sobreyectiva.
Para cada y 2 Y , el conjunto fx 2 X j f (x) = yg se llama la preimagen del elemento y 2 Y y se
denota f1
(y), esto es
f1
(y) = fx 2 X j f (x) = yg
Definición: Si para cada y 2 Img(f ), el conjunto f1
(y) tiene un solo
elemento, la función se dice inyectiva.
Equivalentemente: f es inyectiva si y sólo si cada vez que f (x1) = f (x2), entonces x1 = x2 (para x1, x2 2 X).
Definición: Si la función f : X ! Y es a la vez inyectiva y sobreyectiva,
entonces se dice que f es biyectiva o que establece una correspondencia
biunívoca entre el conjunto X y el conjunto Y .
En conexión con la lista de ejemplos anterior tenemos:
Ejemplos
1. Si f es una función constante, entonces si X y Y tienen más de un elemento, f no es ni inyectiva
ni sobreyectiva.
2. La función f (x) = x2 + 1 no es inyectiva puesto que si y0 > 1 existen dos valores de X para los
cuales f (x) = y0, son las dos soluciones de la ecuación x2 +1= y0, x = p
y0 1.
Tampoco es sobreyectiva puesto que si y0 < 1, no hay ningún valor de x tal que f (x) = y0.
3. Ejemplos 3 y 4, no son sobreyectivas como funciones con codominio los números reales.
4. La función del ejemplo 5 es biye
Explicación paso a paso:
no se si es eso xd decime si esta mal para borrar mi comentariio