Question

Ejercicios de conjuntos resueltos para universidad .

Answer 1

El gerente de marketing de una empresa ha entrevistado a 1660 personas para apreciar los efectos de la publicidad en el reconocimiento de tres productos, con los siguientes resultados:
580 personas conocen el producto A.
840 personas conocen el producto B.
920 personas conocen el producto C
260 personas conocen los productos A y B.
220 personas conocen los productos A y C
100 personas conocen los tres productos.
Ninguna persona desconoce los tres productos.
Se desea saber ¿Cuántas personas conocen sólo el producto C?

Desarrollo:

Nuestro universo esta comprendido por todas las personas, para un total de 1660, donde todas conocen los productos A, B y C.

Partiendo del conjunto A (que es el que mayor cantidad de datos proporciona):

Solo conoce el producto A (por cardinalidad):
Solo A = n(A) - n(A ∩ B) - n (A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Solo A =580 - 260 -220 +100
Solo A= 200

Cantidad que conoce A y B: 260 (eso incluye las personas que conocen A, B y C)
Por lo cual los que solo conocen A y B es: 260 - 100 = 160
Solo conocen a A y C: 580 - 200 - 160 - 100 = 120

Desconocemos las cantidades X, Y y Z.

Planteamos: 920 = 120 + 100 + x + y
700 = x + y  (I)

Y por otra parte: 840 = 160 + 100 + x + z
580 = x + z (II)

Planteamos otra ecuación: 
1660 = 200+120+100+160+y+z+x
1660 = 580 + y + z + x
 1080 = x + y + z (III)

De I, II y III se obtiene por un sistema de ecuaciones:
x + y + z  = 1080
x + y        = 700
x        + z = 580

Se obtiene:
x: 200
y: 500
z: 380

Por lo cual se concluye que solo conocen el producto C 500 personas