Question

Ejercicios de algreba ·ejercicio #96

Answer 1

Ejemplo:  Factorar    x^4 +x^2y^2 +y^4 1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto: raíz cuadrada de x^4 = x^2      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y^2 el 2º  término debiera ser  2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2 Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2  lo que le falta 2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así: x^4   +  x^2y^2  + y^4                     (Trinomio original) .       +  x^2y^2              – x^2y^2     (sumando y restando lo que le hace falta) —————————————– x^4 +2x^2y^2 +y^4  -x^2y^2  = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio) 3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III: (x^4 +2x^2y^2 +y^4)  – x^2y^2 =  (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2 4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV: (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2  = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy) Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución ————————————————————————————– EJERCICIO 96 1) Factorar a^4+a^2+1 =  >  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz cuadrada de a^4 = a^2     ;   raíz cuadrada de 1 = 1 El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) =  2a^2 >  Comparando los 2ºs términos:  2a^2 – a^2 = a^2  <–lo que falta. >  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado): a^4  +  a^2  + 1 .      +  a^2        -a^2 —————————– a^4 +2a^2 + 1 -a^2  =  (a^4 +2a^2 +1) – a^2 >  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III: (a^4 +2a^2 +1) – a^2 =  (a^2 +1)^2 – a^2 >  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos: (a^2 +1)^2 – a^2 = (a^2 +1 +a)(a^2 +1 -a)   ordenado quedaría así (a^2 +a+1)(a^2-a+1)  <–Solución ———————————————————————————- 2) Factorar m^4+m^2n^2+n^4  >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de  m^4 = m^2    ;   raíz^2 de n^4 = n^2 –> el 2º término debe ser: 2(m^2)(n^2) = 2m^2n^2 Comparando los 2ºs términos:  2m^2n^2 – m^2n^2 = m^2n^2 <– le falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: m^4  +   m^2n^2  +  n^4 .        +  m^2n^2              – m^2n^2 ——————————————– m^4  + 2m^2n^2 + n^4 – m^2n^2  =  (m^4+2m^2n^2) -m^2n^2 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III (m^4+2m^2n^2+n^4) – m^2n^2  =  (m^2 + n^2)^2  – m^2n^2 >> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV) (m^2+ n^2)^2 – m^2n^2 = (m^2 +n^2 +mn)(m^2 +n^2 -mn) ordenado quedaría así :  (m^2 +mn+n^2)(m^2 -mn+n^2) Solución ———————————————————————————- 3) Factorar x^8 +3x^4 +4 >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de x^8 = x^4   ;   raíz^2 de 4 = 2 –> el 2º término debería ser :  2(x^4)(2) = 4x^4 Comparando los 2ºs términos:   4x^4  –  3x^4 = x^4  Es lo que falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: x^8 +3x^4 +4 .         x^4       -x^4 ———————- x^8 +4x^4 +4 -x^4  =   (x^8 +4x^4 +4) -x^4 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III (x^8 +4x^4 +4)  – x^4  =  (x^4 +2)^2  - x^4 >> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV (x^4 +2)^2 -x^4  =  (x^4 +2 +x^2)(x^4 +2 -x^2) ordenando quedaría así :  (x^4 +x^2 +2)(x^4 -x^2 +2)  Solución ———————————————————————————– 4) Factorar    a^4 +2a^2 +9  >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de a^4 = a^2     ;      raíz^2 de 9 = 3 –> el 2° término sería:  2(a^4)(3) = 6a^2 –> comparando los 2° términos :   6a^2   –   2a^2 = 4a^2  lo que falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: a^4 +2a^2 +9 .      +4a^2       -4a^2 _________________ a^4 +6a^2 +9 -4a^2   =   (a^4 +6a^2 +9) – 4a^2 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III (a^4 +6a^2 +9) -4a^2 = (a^2 +3)^2  – 4a^2 >> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV (a^2 +3)^2 – 4a^2 = (a^2 +3 +2a)(a^2 +3 -2a) ordenado quedaría así:  (a^2 +2a +3)(a^2 -2a +3)   Solución ———————————————————————————- 17) Factorar  25x^4-139x^2y^2+81y^4 >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto 25x^4 = 5x^2 81y^4 = 9y^2 El 2° término debe ser  -2(5x^2)(9y^2) =  -90x^2y^2 Comparando los dos 2° términos: -139x^2y^2  ( trinomio original) -  90x^2y^2  (como debería ser) -  49x^2y^2   ( es lo que se pasa) Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x^2y^2 >> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto, por adición y sustracción, se hace así: 25x^4 -139x^2y^2 +81y^2 .                  49x^2^2                     -49x^2y^2 25x^4 -90x^2y^2 +81y^4 -49x^2y^2 = (25x^4-90x^2y^2+81y^4) – 49x^2y ^2 >> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III) = (5x^2-9y^2)^2 – (7xy)^2 >> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV) (5x^2-9y^2+7xy)(5x^2-9y^2-7xy) >> Ordenando los factores: = 5x^2+7xy-9y^2)(5x^2-7xy-9y^2) <–  Solución.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Ejemplo:  Factorar    x^4 +x^2y^2 +y^4 1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto: raíz cuadrada de x^4 = x^2      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y^2 el 2º  término debiera ser  2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2 Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2  lo que le falta 2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así: x^4   +  x^2y^2  + y^4                     (Trinomio original) .       +  x^2y^2              – x^2y^2     (sumando y restando lo que le hace falta) —————————————– x^4 +2x^2y^2 +y^4  -x^2y^2  = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio) 3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III: (x^4 +2x^2y^2 +y^4)  – x^2y^2 =  (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2 4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV: (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2  = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy) Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución ————————————————————————————– EJERCICIO 96 1) Factorar a^4+a^2+1 =  >  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz cuadrada de a^4 = a^2     ;   raíz cuadrada de 1 = 1 El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) =  2a^2 >  Comparando los 2ºs términos:  2a^2 – a^2 = a^2  <–lo que falta. >  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado): a^4  +  a^2  + 1 .      +  a^2        -a^2 —————————– a^4 +2a^2 + 1 -a^2  =  (a^4 +2a^2 +1) – a^2 >  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III: (a^4 +2a^2 +1) – a^2 =  (a^2 +1)^2 – a^2 >  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos: (a^2 +1)^2 – a^2 = (a^2 +1 +a)(a^2 +1 -a)   ordenado quedaría así (a^2 +a+1)(a^2-a+1)  <–Solución ———————————————————————————- 2) Factorar m^4+m^2n^2+n^4  >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de  m^4 = m^2    ;   raíz^2 de n^4 = n^2 –> el 2º término debe ser: 2(m^2)(n^2) = 2m^2n^2 Comparando los 2ºs términos:  2m^2n^2 – m^2n^2 = m^2n^2 <– le falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: m^4  +   m^2n^2  +  n^4 .        +  m^2n^2              – m^2n^2 ——————————————– m^4  + 2m^2n^2 + n^4 – m^2n^2  =  (m^4+2m^2n^2) -m^2n^2 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III (m^4+2m^2n^2+n^4) – m^2n^2  =  (m^2 + n^2)^2  – m^2n^2 >> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV) (m^2+ n^2)^2 – m^2n^2 = (m^2 +n^2 +mn)(m^2 +n^2 -mn) ordenado quedaría así :  (m^2 +mn+n^2)(m^2 -mn+n^2) Solución ———————————————————————————- 3) Factorar x^8 +3x^4 +4 >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de x^8 = x^4   ;   raíz^2 de 4 = 2 –> el 2º término debería ser :  2(x^4)(2) = 4x^4 Comparando los 2ºs términos:   4x^4  –  3x^4 = x^4  Es lo que falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: x^8 +3x^4 +4 .         x^4       -x^4 ———————- x^8 +4x^4 +4 -x^4  =   (x^8 +4x^4 +4) -x^4 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III (x^8 +4x^4 +4)  – x^4  =  (x^4 +2)^2  - x^4 >> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV (x^4 +2)^2 -x^4  =  (x^4 +2 +x^2)(x^4 +2 -x^2) ordenando quedaría así :  (x^4 +x^2 +2)(x^4 -x^2 +2)  Solución ———————————————————————————– 4) Factorar    a^4 +2a^2 +9  >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto: Raíz^2 de a^4 = a^2     ;      raíz^2 de 9 = 3 –> el 2° término sería:  2(a^4)(3) = 6a^2 –> comparando los 2° términos :   6a^2   –   2a^2 = 4a^2  lo que falta >> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto: a^4 +2a^2 +9 .      +4a^2       -4a^2 _________________ a^4 +6a^2 +9 -4a^2   =   (a^4 +6a^2 +9) – 4a^2 >> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III (a^4 +6a^2 +9) -4a^2 = (a^2 +3)^2  – 4a^2 >> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV (a^2 +3)^2 – 4a^2 = (a^2 +3 +2a)(a^2 +3 -2a) ordenado quedaría así:  (a^2 +2a +3)(a^2 -2a +3)   Solución ———————————————————————————- 17) Factorar  25x^4-139x^2y^2+81y^4 >> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto 25x^4 = 5x^2 81y^4 = 9y^2 El 2° término debe ser  -2(5x^2)(9y^2) =  -90x^2y^2 Comparando los dos 2° términos: -139x^2y^2  ( trinomio original) -  90x^2y^2  (como debería ser) -  49x^2y^2   ( es lo que se pasa) Entonces a la ecuación original debemos quitarle +49x^2y^2 >> Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto, por adición y sustracción, se hace así: 25x^4 -139x^2y^2 +81y^2 .                  49x^2^2                     -49x^2y^2 25x^4 -90x^2y^2 +81y^4 -49x^2y^2 = (25x^4-90x^2y^2+81y^4) – 49x^2y ^2 >> Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III) = (5x^2-9y^2)^2 – (7xy)^2 >> Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV) (5x^2-9y^2+7xy)(5x^2-9y^2-7xy) >> Ordenando los factores: = 5x^2+7xy-9y^2)(5x^2-7xy-9y^2) <–  Solución.