Question

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)
C) (√(1+x^2 )+x^2-ln⁡x )dy+(█(xy@√(1+x^2 ))+2xy-y/x)dx=0

Answer 1

La solución general de la ecuacion diferencial dada es: y√(1+x²) + yx² - ylnx = C

Explicación paso a paso:

Reescribimos la ecuacion diferencial

(√(1 +x²) + x² - lnx)dy + (xy/√(1 +x²) + 2xy - y/x)dx = 0

Verificamos si se puede resolver por el método de exactas derivando

primer termino respecto a X

1/2 2x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

Segundo termino respecto a Y

x/√(1 +x²) + 2x - 1/x

Se cumple la igualdad, Aplicamos método de exactas

Integramos respecto a X

∫xy/√(1 +x²) + 2xy - y/x)dx

∫xy/√(1 +x²)dx + ∫2xydx - ∫y/xdx

∫xy/√(1 +x²)dx     : v = 1 + x² ; 1/2dv = xdx

y/2 ∫1/√v dv

y/2 2√(1+x²) = y√(1+x²)

∫2xydx = yx²

∫y/xdx = ylnx

y√(1+x²) + yx² - ylnx + h(y)

Derivamos e igualamos al termino de Y

d/dy (y√(1+x²) + yx² - ylnx + h(y)) = (√(1 +x²) + x² - lnx)

(√(1+x²) + x² - lnx + h'(y)) = (√(1 +x²) + x² - lnx)

h'(y) = 0

h(y) = ∫h'(y) = C

La solución general sera

y√(1+x²) + yx² - ylnx = C