Question

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

Answer 1

El resultado de la solucion de la ecuacion Homogenea esta dada por:

ln(x) + 1 + y/x - 2ln(1 + y/x) = k

Explicación:

(x² + y²)dx + (x² - xy)dy = 0

Primero identificamos su homogeneidad

t²(x²+y²) ⇒g(tx,ty) = t²(x² - xy)  grado 2

Multiplicamos la ecuacion dferencial por 1/x²

x²(1+ y²/x²)dx + x²(1 - y/x)dy = 0    (1/x²)

Cambio de variable

y/x = v  ⇒  y = vx  ⇒ dy = xdv + vdx

(1 + v²)dx + (1 - v)(vdx + xdv)  Ordenando

(1 + v² + v - v²)dx + (x - vx)dv

(1 + v)dx - x(1 -v)dv

Variable separables multiplico por

1/x(1+v)

1/x dx - (1-v)/(1+v)dv  Integramos

∫1/x dx - ∫(1-v)/(1+v)dv

ln(x) - [-1 -v +2ln(1+v)] + C

Devolvemos el cambio:

ln(x) - [-1 -y/x +2ln(1+y/x)] = k

ln(x) + 1 + y/x - 2ln(1 + y/x) = k