Question

Ejercicio nº1
La duración en horas de una muestra de bombillas ha sido:
Duración N.º de bombillas
300-400 6
400-500 8
500-600 11
600-700 9
700-800 6
Calcula la duración media, la desviación típica, el coeficiente de variación e interpreta el
resultado.
Como observas te da la variable en forma de intervalo, tienes que calcular lo que
llamamos la marca de clase ,que será la media entre los dos valores , por ejemplo en el
primer intervalo será 300+400/2= 350

Ejercicio nº 2
La siguiente tabla resume las estaturas, en centímetros, obtenidos al medir a las
personas de un determinado grupo, A:

ESTATURA cm

140, 150 150, 160 160, 170 170, 180 180, 190
Nº PERSONAS 8 19 28 32 13

A) Calcula la estatura media , la varianza,la desviación típica y el coeficiente de
variación.
B) Calcula el percentil 25, el percentil 50 (o mediana), y el percentil 75.

Answer 1

Los bombillos duran en promedio 552.5 horas con un promedio de desvíos con respecto a la media de 129.07 horas, que representa el 18.1% de la media. La estatura de las personas en promedio es 167.3 cm con un promedio de desvíos con respecto a la media de 13.12 cm, que representa el 7.84% de la media.  P25  =  159  cm es el dato número 25,  P50  =  168  cm es el dato número 50 y  

P75  =  176  cm es el dato número 75 en el ordenamiento.  

Explicación paso a paso:

Ejercicio nº 1

1. Duración media

La media es el promedio de los valores de una variable. Suma de los valores, en este caso las marcas de clase (xi) multiplicadas por la frecuencia de clase (fi), dividida por el número de valores involucrados (n), en este caso la suma de frecuencias:

$\bold{\overline{x}~=~\dfrac{\Sigma(x_{i}\cdot f_{i})}{\Sigma(f_{i})}=\dfrac{(350)(6)+...+(750)(6)}{6+...+6}=\dfrac{22100}{40}~=~552.5}$

2. Desviación típica  

La desviación típica (s) es la raíz cuadrada de la Varianza (s²). Esta última es el promedio de los desvíos, con respecto a la media, al cuadrado:  

$\bold{s^{2}~=~\dfrac{\Sigma^{2}(x-\overline{x_{i}})^{2}\cdot f_{i}}{n~-~1}~=~\dfrac{(350-552.5)^{2}\cdot(6)+...+(750-552.5)^{2}\cdot(6)}{40~-~1}~=~16660.26}$

$\bold{s~=~\sqrt{s^{2}}~=~\sqrt{16660.26}~=~129.07}$

3. Coeficiente de variación  

El coeficiente de variación es una medida de la magnitud de la variabilidad en relación con la media.  

$\bold{CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\cdot100~=~\dfrac{129.07}{552.5}\cdot 100~=~18.10^{o}/_{o}}$  

4. Interpreta el resultado:  

Los bombillos duran en promedio 552.5 horas con un promedio de desvíos con respecto a la media de 129.07 horas, que representa el 18.1% de la media. Este porcentaje de dispersión con respecto a la media se puede considerar alto.

Ejercicio nº 2

A) Calcula la estatura media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de  variación.

1. Estatura media

$\bold{\overline{x}~=~\dfrac{\Sigma(x_{i}\cdot f_{i})}{\Sigma(f_{i})}=\dfrac{(145)(8)+...+(185)(13)}{8+...+13}=\dfrac{16730}{100}~=~167.3}$

2. Varianza  

$\bold{s^{2}~=~\dfrac{\Sigma^{2}(x-\overline{x_{i}})^{2}\cdot f_{i}}{n~-~1}~=~\dfrac{(145-167.3)^{2}\cdot(8)+...+(750-167.3)^{2}\cdot(13)}{100~-~1}~=~172.16}$

3. Desviación típica  

$\bold{s~=~\sqrt{s^{2}}~=~\sqrt{172.16}~=~13.12}$

4. Coeficiente de variación  

$\bold{CV=\dfrac{s}{\overline{x}}\cdot100~=~\dfrac{13.12}{167.3}\cdot 100~=~7.84^{o}/_{o}}$  

5. Interpreta el resultado:  

La estatura de las personas en promedio es 167.3 cm con un promedio de desvíos con respecto a la media de 13.12 cm, que representa el 7.84% de la media. Este porcentaje de dispersión con respecto a la media se puede considerar moderado a bajo.

B) Calcula el percentil 25, el percentil 50 (o mediana), y el percentil 75.

Hay 99 percentiles que dividen a una distribución en 100 partes iguales. Se interpretan como el porcentaje de datos que se encuentran agrupados por debajo del percentil considerado. Los percentiles 25, 50 y 75 también se les conoce como cuartiles, porque dividen la distribución en cuatro partes iguales, y se denotan por Q1, Q2 (Mediana) y Q3, respectivamente.

$\bold{Percentil~=~P_{k}~=~L_{i}~+~[\dfrac{\dfrac{(k)\cdot(n)}{100}~-~F_{i-1}}{f_{i}}]\cdot(I_{c})}$  

Donde:  

Li  =  Límite inferior de la clase i; es decir, aquella donde se encuentra el percentil k.  

n = número total de valores involucrados.  

fi  =  frecuencia absoluta de la clase i; es decir, de la clase donde se encuentra el percentil k.  

Fi₋₁ = frecuencia absoluta acumulada de la clase previa a la clase i; es decir, frecuencia acumulada de todas las clases previas a la clase donde se encuentra el percentil k.  

Ic = intervalo de clase. (longitud del intervalo que abarca la clase)  

Apliquemos la fórmula vista antes para calcular los percentiles de la distribución dada:  

Antes dividimos el número total de datos entre 4, para saber a que dato corresponde cada cuartil y poder ubicar la llamada clase i.  

100/4  =  25

Los cuartiles están separados mas o menos cada 25 datos. El primer cuartil está en la segunda clase, la mediana en la tercera clase y el tercer cuartil en la cuarta clase.  

$\bold{Q1~=~P_{25}~=~150~+~[\dfrac{\dfrac{(25)\cdot(100)}{100}~-~8}{19}]\cdot(10)~\approx~159}$

P25  =  159  cm pues es el dato número 25 en el ordenamiento, el dato que marca que se abarcó el primer cuarto de los datos.  

$\bold{Q2~=~Md~=~P_{50}~=~160~+~[\dfrac{\dfrac{(50)\cdot(100)}{100}~-~27}{28}]\cdot(10) ~\approx~168}$  

P50  =  168  cm pues es el dato número 50 en el ordenamiento, el dato que marca que se abarcó la mitad de los datos; es decir, el centro de la distribución o Mediana.

 

$\bold{Q3~=~P_{75}~=~170~+~[\dfrac{\dfrac{(75)\cdot(100)}{100}~-~55}{32}]\cdot(10)~\approx~176}$

P75  =  176  cm pues es el dato número 75 en el ordenamiento, el dato que marca que se abarcó las tres cuartas partes de los datos.