Question

Ejercicio nº 11.- Un empresario obtuvo, el primer año de su negocio, unos beneficios de 108 000 €. El segundo
año, obtuvo la mitad de esos beneficios; el tercer año, la mitad que el segundo, y así sucesivamente. Si mantuvo el
negocio durante 5 años, ¿cuáles fueron los beneficios obtenidos en total?

Answer 1

Se trata de una progresión geométrica (PG) descendente, es decir que el valor de los términos va disminuyendo según aumenta su número de orden.

Así tendremos esto:

1º año tuvo 108.000 de beneficio

En los años siguientes fue obteniendo la mitad que el año anterior y esos valores los hallamos multiplicando por 0,5 así que esta cifra será la razón de la progresión.

Con eso ya tenemos los datos necesarios para calcular el beneficio obtenido durante 5 años.

• 1º término de la PG ...  a₁ = 108000
• Razón de la PG ... r = 0,5
• Número de términos ... n = 5 años

Se acude a fórmula que nos permite saber la suma de términos (Sₙ) de cualquier PG y que dice:

$S_n=\ a_1\ \dfrac{r^n\ -1}{r-1} \ ...\ sustituyo\ valores\ ...\\ \\ \\ S_5=\ 108000\ \dfrac{0,5^5\ -1}{0,5-1} =\ 108000\ \dfrac{0,03125-1}{-0.5} =\ 108000\ \dfrac{-0,96875}{-0,5} =\\ \\ \\ =\ 108000\times1,9375\ =\ 209250$

En cinco años obtuvo unos beneficios de 209.250 €