Question

ejercicio Circunferencia y Elipse

Un radar para medir velocidad se encuentra ubicado en el punto (20km, 50km)
con un alcance máximo de 200 km, se acerca un automóvil que se mueve con
velocidad constante de 100 km/h desde la posición (60km,50km) paralelo al eje x.
a) Plantear la ecuación de la circunferencia del radio máximo de influencia del
radar
b) Determinar cuánto tiempo gasta en llegar a la zona de influencia del radar el
automóvil. Recordar la ecuación: x = vt, donde x es la distancia recorrida, v
la velocidad y t el tiempo.

Answer 1

El área de influencia del radar es una región en el plano con una circunferencia como superficie frontera, en el plano la distancia de un punto (x1,y1) a otro (x2,y2) es:

$d^{2} =(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}$

Así puedo definir la distancia de un punto genérico (x,y) a un punto (x0,y0):

$r^{2} =(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}$

Y en esta expresión los puntos (x,y) son todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto (x0,y0), es decir, es la ecuación de la circunferencia de radio r y centro en (x0,y0).

a) De este modo la ecuación de la circunferencia que delimita la región de influencia del radar, siendo que este está en (20km,50km) y tiene un alcance de 200km, es:

$(x-20km)^{2}+ (y-50km)^{2} =(200km)^{2}$

b) Si el automovil se mueve desde (60km,50km) paralelo al eje x significa que se mueve a lo largo de la recta y=50km. Hallemos los puntos de intersección entre la circunferencia y esta recta. Despejando y queda:

$(x-20km)^{2}+ (y-50km)^{2} =(200km)^{2}\\(y-50km)^{2} =(200km)^{2}-(x-20km)^{2}\\y-50km =\sqrt{(200km)^{2}-(x-20km)^{2}}\\y=50km +\sqrt{(200km)^{2}-(x-20km)^{2}}$

si hago y=50km:

$50km=50km +\sqrt{(200km)^{2}-(x-20km)^{2}}\\0=\sqrt{(200km)^{2}-(x-20km)^{2}}\\0=(200km)^{2}-(x-20km)^{2}=(200km)^{2}-(x^{2}-2.20km.x+(20km)^{2})\\0=(200km)^{2}-x^{2}+40km.x-(20km)^{2}\\0=-x^{2}+40x+39600$

Hay que resolver la ecuación cuadrática:

$y_{1,2}=\frac{-40\ñ\sqrt{40^{2} -4.(-1)(39600)} }{2(-1)}=\frac{-40\ñ400 }{-2}=\\y_1=-180km\\y_2=220km$

Con lo que el automóvil se encuentra al partir desde la posición (60km,50km) dentro de la zona de influencia del radar. Si asumimos que se desplaza hacia la derecha, para salir de la zona de influencia del radar deberá recorrer 220km-60km=160km. Reemplazando en la ecuación de la posición y teniendo en cuenta que el autómovil viaja a una velocidad constante de 100km/h queda:

$x=vt\\160km=100\frac{km}{h}t\\t=\frac{160}{100}=1,6hr.$

Con lo que el automovil va a tardar 1,6 horas en salir de la zona de influencia del radar.