Question

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(0, 1, 1), B(2, 1, 3), C(−1, 2, 0) y D(2, 1, m).

a) [0’75 puntos] Calcula m para que A, B, C y D est ́en en un mismo plano.

b) [0’75 puntos] Determina la ecuaci ́on del plano respecto del cual los puntos A y B son sim ́etricos.

c) [1 punto] Calcula el ́area del tri ́angulo de v ́ertices A, B y C.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II

 

a)       Para que los cuatro puntos se encuentren en el mismo plano, los vectores AB, AC y AD deben ser linealmente dependientes o coplanarios, así que su determinante debe ser igual a 0.

$(AB) =(2,0,2); (AC) =(-1,1,-1); (AD) =(2,0,m-1)$ 

$\left[\begin{array}{ccc}2&0&2\\-1&1&-1\\2&0&m-1\end{array}\right]$ = $2m-2-4=0$ = $m=3$

Quieres decir que cuando m=3 los 3 puntos se encuentran en el mismo plano.

 

b)       Para que los puntos A y B sean simétricos el plano debe pasar por el punto que está a la mitad del segmento AB cuyo vector normal es el siguiente  = (2,0,2). Y teniendo como ecuación 2x+2z+D=0

El punto medio M es igual a:

$M= ( \frac{0+2}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+3}{2} )=(1,1,2)$

Sustituyendo el punto M en la ecuación del plano tenemos

$2.1+2.2+D=0$ ⇒ $D=-6$

Entonces, $2x+2z-6 =0$ ⇒ $x+z-3=0$

c)       El triangulo esta formado por los vectores AB y AC

Calculamos el área,

Area = $1/2.|AB$∧ $AC|=1/2.modulo$ $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&0&2\\-1&1&-1\end{array}\right]$ = $1/2.modulo(2,0,2)= \sqrt{8/2} = \sqrt{2 u^2}$