Question

Ejercicio 4.- Los puntos A(0, 1, 1) y B(2, 1, 3) son dos v ́ertices de un tri ́angulo. El tercer v ́ertice es un
punto de la recta r dada por

2x + y = 0
z = 0

a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los posibles puntos C de r para que el tri ́angulo ABC tenga un
́angulo recto en el v ́ertice A.

b) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el tri ́angulo ABD tenga
un ́area igual a √2.

Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014-2015, MATEMATICAS II.
a) primero escribimos la recta r de forma paramétrica 
r=x=ty=-2tz=0

cualquier punto en la recta tendra que ser de la forma (t,-2t,0), ahora, nos piden que el triangulo formado por los puntos ABC sea rectangulo en A, esto quiere decir que los vectores AB = (2,0,2) y AC = (t,-2t-1,-1) deben ser perpendiculares, por lo tanto su producto escalar es igual a 0. esto es:

$AB.AC = (2,0,2).(t,-2t-1, -1)= 2t-2=0$ ⇒ $t=1$

de esta forma, el punto C que buscamos en la recta es C=(1,-2,0).


b)  como determinamos anteriormente, el punto D tambien debera tener la forma (t,-2t,0).


No nos queda mas que calcular el area y despejar el valor de t. 
Los vectores que forman el triangulo son : AB = (2,0,2) y AD = (t,-2t-1,-1)


$S= 1/2|AB$ ∧ $AD| = 1/2 modulo \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&0&2\\t&-2t-1&-1\end{array}\right]$
= $1/2modulo [(2+4t)i +(2+2t)j-(2+4t)k]$

= $1/2 \sqrt{(2+4t)^2 + (2+2t)^2 - (2+4t)^2} = 1/2 \sqrt{36t^2+40t+12}$ = $\sqrt{2}$  

⇒ $9t^2+10t+1=0$ ⇒ $t=-1;t=-1/9$


asi, el punto puede ser de D=(-1,2,0) o D=(-1/9,2/9,0)