Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s dadas por
r ≡
x = 1 + 2λ
y = 1 − λ
z = 1
y s ≡
x + 2y = −1
z = −1
a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuaci´on del plano que las contiene.
b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado est´an en las rectas r y s, calcula su ´area.
Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II
Respuestas a la pregunta
a) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene.
Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s.
Para la recta r, su director son los coeficientes que acompañan a la variable λ.
Vdr = (2, -1, 0)
A (1, 1, 1)
Para la recta s, su director se consigue dando un valor λ a las variables X o Y.
Si X = λ.
X = λ
Y = (-λ – 1) / 2
Z = -1
Vds = (1, -1/2, 0)
B (0, -1/2, -1)
Se verifica la colinealidad entre los directores de las rectas:
Vdr = β*Vds
(2, -1, 0) = β*(1, -1/2, 0)
β = 2
Se comprueba que las rectas son proporcionales y por lo tanto coplanarias.
Ahora se determina un plano que contenga al vector director de r y s además de sus respectivos puntos.
Se determina el vector AB formado por los puntos de la recta y se aplica el producto vectorial con el director de cualquiera de las rectas.
AB = (0, -1/2, -1) – (1, 1, 1) = (-1, -3/2, -2)
Vdr x AB = (2, -1, 0) x (-1, -3/2, -2)
Vdr x AB = (2, 4, -4)
El producto vectorial es la normal del plano buscado.
π: 2X + 4Y – 4Z + D = 0
Si se sustituye el punto A se encuentra el valor de D.
2(1) + 4(1) – 4(1) + D = 0
D = -2
Finalmente la ecuación del plano es:
π: 2X + 4Y – 4Z – 2 = 0
b) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área.
Primero se calcula la distancia desde la recta s hasta el punto A, para ello es necesario determina un plano perpendicular a la recta s y que incluya al punto A.
π2: X – Y/2 + D = 0
Se sustituye el punto A.
1 – 1/2 + D = 0
D = -1/2
π2: X – Y/2 – 1/2 = 0
Se intercepta el plano encontrado con la recta s.
X – Y/2 – 1/2 = 0
X + 2Y + 1 = 0
Z = -1
Solución:
Z = -1
Y = -3/5
X = 1/5
El punto de intercepción es:
M (1/5, -3/5, -1)
Se determina el vector MA:
MA = (1, 1, 1) – (1/5, -3/5, -1) = (4/5, 8/5, 2)
La distancia de este vector es:
D = √(4/5)^2 + (8/5)^2 + (2)^2 = 6√5/5
Se eleva al cuadrado la distancia para determinar el área.
A = D^2 = (6√5/5)^2 = 36/5 u^2
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.