Ejercicio 4.- Considera el punto P(1, 0, 5) y la recta r dada por (
y + 2z = 0
x = 1
a) [1 punto] Determina la ecuaci´on del plano que pasa por P y es perpendicular a r.
b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto sim´etrico de P respecto a r
Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II
Respuestas a la pregunta
a) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a r.
De la ecuación de la recta se debe extraer el vector director, el cual cumple con la condición de normal del plano según las exigencias del ejercicio.
Si z = λ, entonces las variables quedan {x = 1; y = -2λ; z = λ}. Por lo tanto los coeficientes de λ son las componentes del vector director de la recta r.
Vr = (0, -2, 1)
A (1, 0, 0)
La ecuación general del plano quedaría:
π: 0*X – 2*Y + Z + C = 0
Se sustituyen las coordenadas del punto P para encontrar la constante C del plano.
(-2*0) + 5 + C = 0
C = -5
Finalmente el plano es:
π: -2Y + Z – 5 = 0
b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r.
Se determina la distancia desde la recta al punto usando la siguiente ecuación:
D = |PA x Vr| / |Vr|
Se parte calculando |Vr|.
|Vr| = √0^2 + (-2)^2 + 1^2 = √5
Ahora se calcula el vector desde el punto A perteneciente a la recta, hasta el punto P.
PA = (1, 0, 5) – (1, 0, 0) = (0, 0, 5)
Aplicando la ecuación se tiene que:
D = |(0, 0, 5) x (0, -2, 1)1 / √5
D = |(10, 0, 0)| / √5
D = √10^2 + 0^2 + 0^2 / √5
D = 10/√5 = 2√5 u
Ahora se determina el punto medio entre P y su simétrico P’.
Se interceptan la recta y el plano para encontrar el punto medio entre P y P’ que será conocido como M. El sistema de ecuaciones es:
-2Y + Z – 5 = 0
Y + 2Z = 0
X = 1
Si se despeja Y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera se obtiene que:
-2(-2Z) + Z – 5 = 0
Z = 1
Y = -2
El punto M es:
M (1, -2, 1)
Ahora es posible obtener el valor de P’:
Xm = Px + P’x / 2
1 = 1 + P’x / 2
P’x = 1
Ym = Py + P’y / 2
-2 = 0 + P’y / 2
P’y = -4
Zm = Pz + P’z / 2
1 = 5 + P’z / 2
P’z = -3
El punto simétrico a P es:
P’ (1, -4, -3)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.