Question

Ejercicio 4.- Considera el punto A(1, −1, 1) y la recta r dada por



x = 1 + 2λ
y = 1 − λ
z = 1
a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim´etrico de A respecto a r.
b) [1 punto] Determina la ecuaci´on del plano que contiene a r y pasa por A


Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015-2016, MATEMATICAS II

Answer 1

a)      Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r.

 

De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector director y un punto de la recta son:

 

Vdr = (2, -1, 0)

 

P (1, 1, 1)

 

Ahora se determina un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto A. La normal del plano es Vdr.

 

2X – Y + D = 0

 

Se sustituye el punto A.

 

A ( 1, -1, 1)

 

2(1) – (-1) + D = 0

 

D = -3

 

Sustituyendo el valor de D.

 

π: 2X – Y – 3 = 0

 

Ahora se intercepta el plano π y la recta r para determinar el punto medio entre A y su simétrico A’.

 

Se sustituyen las coordenadas generales de los puntos de la recta en la ecuación del plano.

 

2(1 + 2λ) – (1 – λ) – 3 = 0

 

λ = 0,4

 

Ahora se tiene que el punto medio M es:

 

X = 1 + 2(0,4) = 1,8

 

Y = 1 – 0,4 = 0,6

 

Z = 1

 

M (1,8; 0,6; 1)

 

Aplicando la ecuación del punto medio es posible despejar las coordenadas del punto A’.

 

Xm = Ax + A’x /2

 

1,8 = 1 + A’x / 2

 

A’x = 2,6

 

Ym = Ay + A’y / 2

 

0,6 = -1 + A’y / 2

 

A’y = 2,2

 

Zm = Az + A’z / 2

 

1 = 1 + A’z / 2

 

A’z = 1

 

Las coordenadas del punto simétrico de A son:

 

A’ (2,6; 2,2; 1)

 

b)      Determina la ecuación del plano que contiene a r y pasa por A.

 

De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector director y un punto de la recta son:

 

Vdr = (2, -1, 0)

 

P (1, 1, 1)

 

A (1, -1, 1)

 

Se forma el vector PA.

 

PA = A – P = (1, -1, 1) – (1, 1, 1) = (0, -2, 0)

 

La normal del plano se forma con el producto vectorial entre PA y Vdr.

 

N = PA x Vdr = (0, -2, 0) x (2, -1, 0)

 

N = PA x Vdr = (0, 0, 4)

 

La ecuación general del plano es:

 

4Z + D = 0

 

Se sustituye el valor del punto A.

 

4(1) + D = 0

 

D = -4

 

4Z – 4 = 0

 

Z – 1 = 0

 

Finalmente la ecuación del plano que contiene a r y pasa por A es:

 

π : Z – 1 = 0

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 MATEMÁTICAS II.