Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuaci ́on x + 2y + z = 1.
a) [1 punto] Halla el punto de π m ́as pr ́oximo al punto (3, 1, 2).
b) [1’5 puntos] Determina la ecuaci ́on de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un
tri ́angulo de ́area √6.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva A 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
a) Halla el punto de π más próximo al punto (3, 1, 2).
Se encuentra una recta que sea perpendicular al plano y que pase por el punto (3, 1, 2), esto quiere decir que la normal del plano será el director de la recta.
N = Vdr = (1, 2, 1)
A (3, 1, 2)
La ecuación paramétrica de la recta es:
r : {x = 3 + λ; y = 1 + 2λ; z = 2 + λ}
Se intercepta la recta con el plano y se consigue el punto M.
(3 + λ) + 2(1 + 2λ) + (2 + λ) = 1
λ = - 1
Sustituyendo en la ecuación de la recta se tiene que M es:
x = 3 – 1 = 2
y = 1 – 2 = -1
z = 2 – 1 = 1
M (2, -1, 1)
b) Determina la ecuación de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área √6.
El plano buscado debe tener la siguiente forma:
x + 2y + z = D
De esta forma se tiene que los cortes con los ejes de coordenadas son:
A (D, 0, 0)
B (0, D/2, 0)
C (0, 0, D)
Se forman los vectores AB y AC.
AB = B – A = (-D, D/2, 0)
AC = C – A = (-D, 0, D)
La ecuación para el área de un triángulo es:
A = |AB x AC| / 2
AB x AC = (-D, D/2, 0) x (-D, 0, D) = (D^2/2, D^2, D^2/2)
| AB x AC| = √D^4/4 + D^4 + D^4/4
A = √6
Sustituyendo los valores se tiene:
√6 = √D^4/4 + D^4 + D^4/4 / 2
D = ±2
La ecuación del plano es:
x + 2y + z = ±2
La solución son 2 posibles planos:
x + 2y + z = 2
x + 2y + z = -2
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA A 2015-2016 MATEMÁTICAS II.