Question

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

2x + y + (α − 1)z = α − 1

x − αy − 3z = 1

x + y + 2z = 2α − 2

a) [1 punto] Resuelve el sistema para α = 1.

b) [1’5 puntos] Determina, si existe, el valor de α para el que (x, y, z) = (1, −3, α) es la ́unica soluci ́on del
sistema dado.


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II.

 

a)     si α=1, entonces:

$2x+y =0$

$x-y-3z=1$

$x+y+2z=0$

 

usaremos Cramer para resolver el sistema de ecuaciones, quedando 

$x= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&-3\\0&1&2\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

 

$y= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&1&-3\\1&0&2\end{array}\right]}{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{4}{-3} = - \frac{4}{3}$

 

$z= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&1\\1&1&0\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

 

b)       Si sustituimos en el sistema de ecuaciones tenemos,

$2-3+( \alpha -1) \alpha = \alpha -1$

$1+3 \alpha -3 \alpha =1$

$1-3+2 \alpha =2 \alpha -2$

 

Despejando:

$\alpha ^2-2 \alpha =0$

$1=1$

$-2=-2$

 

Si resolvemos,

$\alpha ^2-2 \alpha =0$ tenemos como resultado: α=0; α=2

 

por el teorema de Rouché podemos decir que

para α = 0 el sistema es compatible indeterminado y

para α=2 el sistema es compatible determinado

 

así que para α=2 el sistema tiene una única solución la cual es: (1,-3, α).