Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados el plano π ≡ 2x − y = 2, y la recta r ≡ { x = 1 , y − 2z = 2 , se pide:
a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) (1 punto) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.
c) (1 punto) Determinar la recta que pasa por A(−2, 1, 0), corta a r, y es paralela a π. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

a) Estudiar la posición relativa de r y π.

 

Si se desea estudiar la posición relativa entre la recta y el plano se debe aplicar la siguiente ecuación:

 

Posición relativa = N o U

 

Dónde:

 

N es el vector director de la recta.

 

U es la normal del plano.

 

El vector director de la recta es:

 

X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α

 

N = (0, 2, 1)

 

La normal del plano es el coeficiente que acompaña a cada variable.

 

U = (2, -1, 0)

 

Ahora se aplica la ecuación de la posición relativa.

 

Posición relativa = (0, 2, 1) o (2, -1, 0) = 0 – 2 + 0 = -2

 

Como el resultado es distinto de cero, la recta corta al plano.

 

b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π.

 

Hay que determinar un punto que pertenezca a la recta ya que también pertenece al plano buscado.

 

X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α

 

Los términos independientes representan los valores de un punto de la recta.

 

Q (1, 2, 0)

 

Ahora se aplica un producto mixto entre Q, N y U.

 

       ( x-1   y-2  z)

π2: ( 0       2   1) = (x-1)(1) – (y-2)(-2) + (z)(-4) = x + 2y – 4z – 5 = 0

        ( 2      -1  0)

 

π2: x + 2y – 4z – 5 = 0

 

c) Determinar la recta que pasa por A (−2, 1, 0), corta a r, y es paralela a π.

 

Se debe calcular un punto P que al formar el vector AP sea perpendicular a U.

 

AP o U = 0

 

Si se desea encontrar al P se debe tener en cuenta que P pertenece a r, por lo tanto las coordenadas de dicho punto satisfacen la ecuación de la recta.

 

r: X = 1, Y = 2 + 2α, Z = α

 

P (1, 2 + 2α, α)

 

AP = P – A = (1, 2 + 2α, α) – (−2, 1, 0) = (3, 1 + 2α, α)

 

Aplicando el producto escalar:

 

(3, 1 + 2α, α) o (2, -1, 0) = 6 – 1 - 2α => α = 5/2

 

Por lo tanto AP es:

 

AP = (3, 6, 5/2)

 

Por lo tanto la recta es:

 

S: (x + 2)/3 = (y – 1)/6 = 2z/5

 

PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II