Question

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:

2x + λy + λz = 1 − λ ,
x + y + (λ − 1)z = −2λ ,
(λ − 1)x + y + z = λ − 1 ,
se pide:

a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro λ.

b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = 1.

c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso λ = −1.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.

Answer 1

a) Discutirlo según los valores del parámetro λ.

 

La matriz formada por el sistema de ecuaciones es:

 

      (  2   λ    λ  )

A = (  1   1  λ-1)

      (λ-1  1   1  )

 

        (  2   λ    λ    1-λ)

A* = (  1   1  λ-1  -2λ)

        (λ-1  1   1    λ-1)

 

Ahora se evalúa Det(A) = 0.

 

              |  2   λ    λ  |

Det(A) = |  1   1  λ-1| = 0 => λ^3 - 3λ^2 + 4 = 0 => λ1 = -1, λ2 = 2

               |λ-1  1   1  |

 

Con los valores de λ se puede discutir que:

 

Si λ ≠ λ1 o λ2, Det(A) ≠ 0 => Rango A = Rango A* = 3, entonces el sistema es compatible determinado.

 

Si λ = λ1, Det(A) = 0 => Rango A = Rango A* = 2, entonces el sistema es compatible indeterminado.

 

Si λ = λ2, Det(A) = 0 => Rango A = 1 ≠ Rango A* = 2, entonces el sistema es incompatible.

 

b) Resolverlo en el caso λ = 1.

 

Sustituyendo el valor de λ:

 

      (2   1   1)

A = (1   1   0)

      (0   1   1)

 

Det(A) = 2

 

        (2  1   1   0)

A* = (1   1  0  -2)

        (0  1   1   0)

 

Las sub-matrices son las siguientes:

 

        (0   1   1)

Ax = (-2  1  0)

        (0   1   1)

 

Det(Ax) = 0

 

        (2   0   1)

Ay = (1   -2  0)

        (0   0   1)

 

Det(Ay) = -4

 

        (2  1   0)

Az = (1  1  -2)

        (0  1   0)

 

Det(Az) = 4

 

Aplicando el método de cramer:

 

X = Det(Ax) / Det(A)

 

X = 0/2 = 0

 

Y = Det(Ay) / Det(A)

 

Y = -4/2 = -2

 

Z = Det(Az) / Det(A)

 

Z = 4/2 = 2

 

c) Resolverlo en el caso λ = −1.

 

Sustituyendo el valor de λ:

 

      (2   -1   -1)

A = (1   1   -2)

      (-2   1   1)

 

Como la fila 1 es linealmente dependiente de la fila 3 se elimina una de ellas y queda que:

 

A = (1   1   -2)

      (-2   1   1)

 

A* = (1   1   -2   2)

        (-2  1   1   -2)

 

Por ser un sistema compatible indeterminado se da un valor (Z = T) y se despejan las demás variables:

 

Volviendo al sistema de ecuaciones tradicional:

 

X + Y – 2Z = 2

 

-2X + Y + Z = -2

 

Sustituyendo Z:

 

X + Y – 2T = 2

 

-2X + Y + T = -2

 

Restando las ecuaciones se tiene:

 

3X – 3T = 4

 

X = (4 + 3T)/3

 

Y = (2 + 3T)/3

 

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.