PAU-Selectividad, pregunta formulada por nacrosangis, hace 1 año

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funci ́on f : (0,∞) → R sabiendo que f′′(x) = ln (x) y que su
gr ́afica tiene tangente horizontal en el punto P(1, 2) (ln denota la funci ́on logaritmo neperiano).


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014-2015, Matematicas II

Respuestas a la pregunta

Contestado por erikalmeida
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Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014-2015, MATEMATICAS II.


El primer paso es calcular f'(x) integrando por partes,


 f'(x)= \int\limits {ln(x)} \, dx = xlnx -  \int\limits\, dx = xlnx - x +C


\left[\begin{array}{ccc}u=ln(x); du=  \frac{1}{x}dx\\dv = dx; v=x    \end{array}\right]


debemos integrar por partes una segunda vez, ahora para calcular f(x).


f(x) =  \int\limits {(xlnx - x +C)} \, dx =  \int\limits {xlnx} \, dx - \int\limits {x} \, dx +\int\limits {C} \, dx


 \int\limits {xlnx} \, dx - \frac{x^2}{2} +Cx =  \frac{x^2}{2}lnx- \int\limits { \frac{x^2}{2} . \frac{1}{x} } \, dx  + \frac{x^2}{2}+Cx

 \frac{x^2}{2}lnx-  \frac{x^2}{4} -  \frac{x^2}{2}+Cx+D=  \frac{x^2}{2}lnx- \frac{3x^2}{4}+Cx+D


  \left[\begin{array}{ccc}u=ln(x);  du=\frac{1}{x}dx \\dv=xdx; v=  \frac{x^2}{2} \end{array}\right]


Ahora calcularemos los valores para C y D.


si La tangente es horizontal ⇒ f'(1) = 0  ⇒ 0= 1.ln1-1+C ⇒ C=1

si la tangente pasa por el punto (1,2) ⇒ f(1) = 2 ⇒ 2= \frac{1.ln1}{2} - 3/4 +1 +D ⇒ D=7/4


de esta forma, la funcion que buscamos es la siguiente:


f(x) =  \frac{x^2}{2}lnx -  \frac{3x^2}{4}+x+7/4

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