Ejercicio 1.- Sea la funci ́on f : (0, +∞) → R definida por f(x) = ln(x)./x
,donde ln denota logaritmo neperiano.
a) [1 punto] Estudia y determina las as ́ıntotas de la gr ́afica de f.
b) [1’5 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica f.
Asíntotas verticales: Se estudia el dominio de la función.
D = {x / x pertenece a R – x = 0}
Se evalúa el límite cuando la función tiende a 0.
Lim x->0+ [ln(x)/x] = -∞
Por lo tanto se concluye que existe una asíntota vertical en x = 0.
Asíntota horizontal: Se estudia el límite de la función cuando esta tiende a ∞.
Lim x->∞ [ln(x)/x] = ∞/∞ (Indeterminado)
Se aplica L’Hopital.
Lim x->∞ (1/x) = 0
Por lo tanto se concluye que existe una asíntota horizontal en f(x) = 0.
Asíntota oblicua: Al existir asíntota horizontal, no existe asíntota oblicua.
b) Halla los extremos relativos (Abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
Se deriva la función.
f’(x) = [1 – ln(x)]/x^2
Se iguala a cero la derivada y se despeja x.
[1 – ln(x)]/x^2 = 0
1 – ln(x) = 0
x = e
El valor de x = e es un máximo relativo.
f(e) = ln(e)/e = 1/e
M (e, 1/e)
Para estudiar el crecimiento y decrecimiento se estudian los siguientes intervalos:
(0, e)
f’(1) = [1 – ln(1)]/1^2 = 1 (Crece por su signo positivo)
(e, +∞)
f’(5) = [1 – ln(5)]/5^2 = -0,02 (Decrece por su signo negativo)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.