Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funci´on definida por f(x) = x
2
e
−x
2
.
a) [0’75 puntos] Estudia y determina las as´ıntotas de la gr´afica de f.
b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos
relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
c) [0’5 puntos] Esboza la gr´afica de f.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
Asíntotas verticales: Se determinan los puntos para los cuales f(x) no existe, pero como f(x) existe para todos los números reales, la función no tiene asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales: Se aplica el límite cuando X tiende al infinito y su opuesto.
Lim x->±∞ [x^2*e^(-x^2)] = ∞/∞ (Indeterminado)
Se aplica L’Hopital.
Lim x->±∞ [2x / 2x*e^(x^2)]
Lim x->±∞ [1/e^(x^2)] = 0
Existe una asíntota horizontal en f(x) = 0.
No existen asíntotas oblicuas ya que existen asíntotas horizontales.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (Abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Se deriva la función f(x) y se iguala a cero.
f’(x) = 2x*e^(-x^2) – 2x^3*e^(-x^2) = 0
2x*e^(-x^2)*(1 – x^2) = 0
x1 = 0
x2 = ±1
Se estudian los signos de los siguientes intervalos:
(-∞, -1)
2(-2)*e^[-(-2)^2]*[1 – (-2)^2] = 0,22 (Crece ya que su signo es positivo)
(-1, 0)
2(-0,5)*e^[-(-0,5)^2]*[1 – (-0,5)^2] = - 0,58 (Decrece ya que su signo es negativo)
(0, 1)
2(0,5)*e^[-(0,5)^2]*[1 – (0,5)^2] = - 0,58 (Crece ya que su signo es positivo)
(1, +∞)
2(2)*e^[-(2)^2]*[1 – (2)^2] = -0,22 (Decrece ya que su signo es negativo)
c) Esboza la gráfica de f.
La gráfica se muestra en la figura adjunta.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 MATEMÁTICAS II.
