Question

Ejercicio 1. Planteamiento de un problema de programación lineal: Para desarrollar las tareas es necesario que se consulten las referencias bibliográficas: Chediak, F. (2012). Investigación de operaciones. (3a. ed.) (pp. 234-239), Ibagué, Colombia: Editorial Universidad de Ibagué. En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.: Con los datos anteriores: a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 2X2. b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico. c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?

Answer 1

Las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro, cuyo perímetro máximo será 6 metros.  

Explicación paso a paso:  

a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2  

Llamaremos:  

X1 = dimensión mayor  

X2 = dimensión menor  

Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + 2X2 (Perímetro)  

Condiciones del problema:  

X1 ≤ 2  

X2 ≤ 2  

X1 + 2X2 ≤ 4  

Condiciones de no negatividad:  

X1 ≥ 0  

X2 ≥ 0  

b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.

Método Simplex  

1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:  

Función objetivo: Maximizar Z(x1,x2,h1,h2,h3) = 2X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3  

Condiciones del problema:  

X1 + h1 = 2  

X2 + h2 = 2  

X1 + 2X2 + h3 = 4  

2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):  

$\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 & 2 \qquad h1\\0 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 & 2 \qquad h2\\1\quad 2\quad 0\quad 0\quad 1&4 \qquad h3\\\overline{-2\quad -2\quad 0\quad 0\quad 0&0}\\\end{array}$

Se obtiene la primera solución: Z(0,0,2,2,4) = 0  

3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:  

3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.  

Primera columna.

3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.  

Los cocientes positivos serian: 2/1 = 2 y 4/1 = 4  

Primera fila.

3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.  

3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.  

Se multiplica fila 1 por (-1) y se suma a la fila 3.  

Se multiplica fila 1 por (2) y se suma a la fila 4.  

3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,  

$\begin {array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1\quad 0\quad 1\quad 0\quad 0 &2 \qquad X1 \\0\quad 1\quad 0\quad 1\quad 0 &2 \qquad h2 \\0\quad 2-1\quad 0\quad 1 &2 \qquad h3 \\\overline {0\quad -2\quad 2\quad 0\quad 0&4} \\\end {array}$

Se obtiene la segunda solución: Z(2,0,2,0,2) = 4  

4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.  

4.1.- Segunda columna es columna pivote.  

4.2.- Tercera fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:  

2/1 = 2 y 2/2 = 1  

4.3.- El elemento pivote es el número dos (2); se divide la fila pivote por dos (2).  

4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.  

Se multiplica fila 3 por (-1) y se suma a la fila 2.  

Se multiplica fila 3 por (2) y se suma a la fila 4.  

4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,  

$\begin{array}{r|l}\underline{X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1\quad 0\quad 1\quad 0\quad 0&2 \qquad X1\\0\quad 0\quad \frac{1}{2} \quad 1 -\frac{1}{2} &1 \qquad h2\\0\quad 1 -\frac{1}{2}\quad 0\quad \frac{1}{2}&1 \qquad X2\\\overline{0\quad 0\quad 1\quad 0\quad 1&6}\\\end{array}$

Se obtiene la tercera solución: Z(2,1,0,1,0) = 6  

5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.  

La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.  

Método Gráfico  

1.- Las condiciones del problema son las mismas:  

2.- Se construye la gráfica anexa con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución. Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones:  

$\begin {array} {c|l|r}\underline {(X1, X2) & Evaluaci\acute{o}n & Valor Z}\\ (0, 0) &2(0)+2(0) & 0\\ (0, 2) &2(0)+2(2) & 4\\ (1, 2)&2(1)+2(2)&6\\ (2, 0)&2(2)+2(0)&4\\\end {array}$

La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.  

c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?  

El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.