Question

Ejercicio 1:
Para comparar los pesos promedios de un grupo de niñas y niños se realizo un estudio en alumnos
de quinto grado de primaria de una escuela rural. Se usará una muestra aleatoria de 40 niños y otra
de 45 niñas. Los pesos tanto para niños y niñas se rigen por una distribución normal. El promedio
de los pesos de los niños es de 100 libras en los grados quintos con una desviación estándar de
15.142 libras. Las niñas poseen un promedio de 150 libras con una desviación estándar de 20.247
libras en dicho grado.
¿Encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 40 niños sea al menos 30 libras
más grande que el de las 45 niñas?
Ejercicio 2:
Las ventas diarias de un granero que se rigen por una distribución normal. Para estimar el número
de ventas por día se escoge una muestra de 10 días de manera aleatoria, dando como resultado una
media de 400 u.m. y una desviación típica de 22 u.m. Dar un intervalo 3 de estimación para el
numero medio de ventas con una confianza del 99%.
Ejercicio 3
Una senadora estatal desea encuestar a los habitantes de su localidad para conocer qué proporción
del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos.
¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 92% y un error máximo de
estimación de 0.25?
Ejercicio 4
Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia real entre las duraciones de dos
marcas de baterías, si una muestra de 30 baterías tomadas al azar de la primera marca dio una
duración media de 318 horas, y una muestra de 25 baterías de otra marca dieron una duración
media de 302 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 6 horas y 2 horas,
respectivamente.

Answer 1

EJERCICIO 1:

Los datos proporcionados por el texto son:

n1 = 40 niños                              m1 = 100 lb                         α1 = 15.142 lb

n2 = 45 niñas                              m2 = 150 lb                         α2 = 20.247 lb

Definiremos la probabilidad como: р = (X1 - X2)=30

Tenemos un caso de distribución muestral de diferencias de medias, por lo cual se debe emplear la siguiente fórmula:

$Z = \frac{(x1-x2)-(m1-m2)}{ \sqrt{ \frac{ \alpha1^{2}}{n1}+\frac{ \alpha2^{2}}{n2}}}$,sustituyendo en la fórmula:

$Z = \frac{30-(100-150)}{ \sqrt{ \frac{ \ (15.142)^{2}}{40}+\frac{ \ (20.247)^{2}}{45}}}$

Z = 20.77

Ahora bien: Este valor debemos ubicarlo en las tablas de valores Z de distribución normal, el cual al ser un valor muy pequeño, se concluye que hay una probabilidad del 0%

EJERCICIO 2:

Los datos que tenemos del enunciado del ejercicio son los siguientes:

n = 10 ; X = 400 ; α = 22 ; Zα/2 = 2.575 (por tablas, nivel de confianza del 99%)

Para resolver el ejercicio necesitamos la siguiente fórmula:

$(X-Z_{ \alpha/2} \frac{ \alpha}{ \sqrt{n}} , X+Z_{ \alpha/2} \frac{ \alpha}{ \sqrt{n}})$

Sustituyendo los datos en la ecuación:

$(400-2.575 \frac{22}{ \sqrt{10}} , 400+2.575 \frac{22}{ \sqrt{10}})$

Obteniendo un intervalo de: (382.10 , 417.91)

EJERCICIO 3:

Para el ejercicio nuestros datos emplear serán:

e = 0.25 (error de estimación)

Para un 92% de confianza, según tablas de cálculo de tamaño de muestra:

Z = 1.75

Como se desconoce la cantidad de personas que conocen la opinión de la legisladora, se calculara el tamaño de muestra n; partiremos de la fórmula de cálculo de tamaño de muestra para estimar una porción:

$e= z\frac{ \sqrt{pq}}{n}$, despejamos n:

$n = \frac{z^{2}pq}{e^{2}}$

Ahora bien, para la porción esperada (p) y la probabilidad de fracaso (q) tomaremos un valor de 0.50 para cada uno. Sustituyendo los datos:

$n= \frac{(1.75)^{2}(0.50)(0.50)}{(0.25)^{2}} = 12.25$

Respuesta: Se necesita un tamaño de muestra (n) de 13 personas, para así obtener una confianza del 92%, con un error máximo de 0.25

EJERCICIO 4:

Los datos en el ejercicio son:

X1 = 318 ; X2 = 302 ; α1 = 6 , α2 = 2 ; n1 = 30 , n2 = 25 ; Z = 1.645 (Para una confianza del 90%, por tablas).

El intervalo de confianza está definido por la fórmula:

$(x1-x1)-Z \sqrt{ \frac{ \alpha1^{2}}{n1}+\frac{ \alpha2^{2}}{n2}} \leq$ц1 - ц2$\leq (x1-x2)+Z\sqrt{ \frac{ \alpha1^{2}}{n1}+\frac{ \alpha2^{2}}{n2}}$

Sustituyendo en la ecuación, tenemos:

$(318-302)-1.645\sqrt{\frac{(6)^{2}}{30}+\frac{(2)^{2}}{25}}\leq$ц1 - ц2$\leq (318-302)+1.645\sqrt{\frac{(6)^{2}}{30}+\frac{(2)^{2}}{25}}$

Intervalo de confianza: $14.08 \leq$ц1 - ц2$\leq 17.92$