Question

Ejercicio 1:
Para comparar los pesos promedios de un grupo de niñas y niños se realizo un estudio en alumnos
de quinto grado de primaria de una escuela rural. Se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra
de 25 niñas. Los pesos tanto para niños y niñas se rigen por una distribución normal. El promedio
de los pesos de los niños es de 100 libras en los grados quintos con una desviación estándar de
14.142 libras. Las niñas poseen un promedio de 85 libras con una desviación estándar de 12.247
libras en dicho grado.
¿Encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras
más grande que el de las 25 niñas?
Ejercicio 2:
Las ventas diarias de un granero que se rigen por una distribución normal. Para estimar el número
de ventas por día se escoge una muestra de 10 días de manera aleatoria, dando como resultado una
media de 100 u.m. y una desviación típica de 4 u.m. Dar un intervalo de estimación para el 1
numero medio de ventas con una confianza del 95%.
Ejercicio 3
Una senadora estatal desea encuestar a los habitantes de su localidad para conocer qué proporción
del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos.
¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 95% y un error máximo de
estimación de 0.10?
Ejercicio 4
Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia real entre las duraciones de dos
marcas de baterías, si una muestra de 40 baterías tomadas al azar de la primera marca dio una
duración media de 418 horas, y una muestra de 50 baterías de otra marca dieron una duración
media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas,
respectivamente.

Answer 1

EJERCICIO 1: PESOS

Nuestros datos serán:

m1 = 100 lb (niños)          n1= 20 niños             o1 = 14.142 (desviación)

m2 = 85 lb (niñas)          n2 = 25 niñas            o2 = 12.247 (desviación)

*Definiremos la probabilidad como: р = (X1 - X2)20

*Tenemos un caso de distribución muestral de diferencias de medias, por lo cual se debe emplear la siguiente fórmula:

z = $\frac{(x1-x2) - (m1-m2)}{( \sqrt{ \frac{o1^{2} }{n1} - \frac{o2^{2} }{n2} })}$

Sustituiremos todos los datos en la fórmula:

z = $\frac{20 - (100-85)}{( \sqrt{ \frac{14.142^{2} }{20} - \frac{12.247^{2} }{25} })}$

z = 1.25

Ahora bien: Este valor debemos ubicarlo en las tablas de valores Z de distribución normal para el valor interceptando las columnas de 1.2 y 0.05, obteniendo un valor de 0.894, que representa una probabilidad del 89.4%

EJERCICIO 2: GRANERO

Deberemos aplicar la siguiente formula:

$(X - Z_{\alpha/2} x \frac{ \alpha}{\sqrt{n}} , X + Z_{\alpha/2} x \frac{ \alpha}{\sqrt{n}} )$

X= 100 ; α = 4 ; n = 10 ; Z_{\alpha/2} = 1.96 (por tablas, por nivel de confianza del 95%)

Sustituiremos los datos en la ecuación:

$(100 - 1.96 x \frac{4}{\sqrt{10}} , 10 + 1.96x\frac{4}{\sqrt{10}})$

Obteniendo un intervalo de : (97.5 , 102.4)

EJERCICIO 3: ENCUESTA

Nuestros datos serán:

e = 0.10 (error de estimación)

Para un 95% de confianza, según tablas de cálculo de tamaño de muestra: Z = 1.96 

Como se desconoce la cantidad de personas que conocen la opinión de la legisladora, se calculara el tamaño de muestra n; partiremos de la fórmula de cálculo de tamaño de muestra para estimar una porción:

e = z x $\sqrt{\frac{pxq}{n}}$, despejaremos n:

$n = \frac{z^{2}xpxq}{e^{2}}$

Ahora bien, para la porción esperada (p) y la probabilidad de fracaso (q) tomaremos un valor de 0.50 para cada uno. Sustituyendo los datos:

$n = \frac{(196)^{2}x(0.50)x(0.50)}{(0.10)^{2}}$  = 96.04

Respuesta: Se necesita un tamaño de muestra (n) de 97 personas, para así obtener una confianza del 95%, con un error máximo de 0.10

EJERCICIO 4: INTERVALO DE CONFIANZA

Los datos en el ejercicio serán: 

 x1 = 418 , x2 = 402, α1 = 26 , α2 = 22 , n1 = 40 , n2 = 50 , z = 1.88 (Para una confianza del 94%, tablas).

El intervalo de confianza está definido por la fórmula:

$x_{1} - x_{2} - Z \sqrt{\frac{\alpha1^{2}}{n1}+{\frac{\alpha2^{2}}{n2}}} \leq$ц1 - ц2 $\leq x_{1} - x_{2}$  + Z $\sqrt{ \frac{\alpha1^{2}}{n1}+ \frac{\alpha2^{2}}{n2}}$

Sustituimos:

(419-402) - 1.88$\sqrt{\frac{26^{2}}{40}+\frac{22^{2}}{50}+} \leq$ц1 - ц2$\leq$(418-402)+1.88$\sqrt{\frac{26^{2}}{40}+\frac{22^{2}} {50}}$

Finalmente: $6.3 \leq$ц1 - ц2$\leq 25.7$