Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:

−mx + my + z = 0
x − my + 3z = 4
2x − 2y − z = 0

se pide:
a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m.
b) (005 puntos) Resolverlo en el caso m = 0.
c) (005 puntos) Resolverlo en el caso m = 2.

Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.

Answer 1

a)     Discutirlo según los valores del parámetro m.

 

Si se despeja Z de la primera ecuación se tiene que:

 

Z = m*(X – Y)

 

Sustituyendo el valor de Z en la segunda y tercera ecuación:

 

X − mY + 3 m*(X – Y) = 4

2X – 2Y − m*(X – Y) = 0

 

Reordenando las ecuaciones:

 

(3m + 1)X – 4mY = 4       (4)

(2 – m)X - (2 - m)Y = 0    (5)

 

Se despeja Y de la cuarta ecuación:

 

Y = X

 

Se sustituye Y en la quinta ecuación:

 

(3m + 1)X – 4mX = 4

 

(3m + 1 – 4m)X = 4

 

(1 – m)X = 4

 

X = 4 / (1 – m)

 

Debido a que X = Y se tiene que Y es:

 

Y = 4 / (1 – m)

 

Ahora sustituyendo el valor de X y Y se obtiene el valor de Z:

 

Z = m*[4 / (1 – m) - 4 / (1 – m)]  = 0

 

Entonces los valores para las incógnitas son:

 

X = 4 / (1 – m)

 

Y = 4 / (1 – m)

 

Z = 0

 

X y Y son siempre el mismo valor sin importar el valor que tome m, además m ≠ 1 (X = Y = 4 / (1 – 1) = 4 / 0 = ∞) para que el sistema tenga solución.

 

El valor de Z es invariante e igual a 0 para cualquier valor de m.

 

b)    Resolverlo en el caso m = 0.

 

Se sustituye m = 0 en el sistema de ecuaciones:

 

−0*x + 0*y + z = 0

x – 0*y + 3z = 4

2x − 2y − z = 0

 

El Sistema queda de la siguiente forma:

 

Z = 0

X – 3Z = 4

2X – 2Y = 0

 

Si se sustituye el valor de Z en la segunda ecuación:

 

X = 4

 

Se sustituye el valor de X en la tercera ecuación:

 

2*4 – 2Y = 0

 

Y = 4

 

Los valores son:

 

X = 4

 

Y = 4

 

Z = 0

 

c)     Resolverlo en el caso m = 2.

 

Se sustituye m = 2 en el sistema de ecuaciones:

 

−2x + 2y + z = 0

x – 2y + 3z = 4

2x − 2y − z = 0

 

Se despeja Z de la tercera ecuación:

 

Z = 2Y – 2X

 

Se sustituye en la primera y segunda ecuación:

 

−2X + 2Y + 2Y – 2X = 0       (4)

X – 2Y + 3*(2Y – 2X) = 4     (5)

 

De la cuarta ecuación se tiene:

 

−2X + 2Y + 2Y – 2X = 0

 

-4X + 4Y = 0

 

X = Y

 

Se sustituye en la quinta ecuación:

 

X – 2X + 3*(2X – 2X) = 4

 

X = -4

 

Con este resultado se tiene que los valores de las incógnitas son:

 

X = -4

 

Y = -4

 

Z = 0

 

Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.