Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función:
f(x) = [4/(x − 4)]+ [27/(2x + 2)]
se pide:
a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) (1,75 puntos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de
inflexión.
c) (0,5 puntos) Esbozar la gráfica de la función.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
Respuestas a la pregunta
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
f(x) = (35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]
Primero se estudiarán las asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente:
X = C y Lím x -> a f(x) = ±∞
El evalúa el dominio de la función:
X – 4 ≠ 0
X ≠ 4
2X + 2 ≠ 0
X ≠ -1
D = R – {-1, 4}
Se calcula el límite de la función para X = -1 y X = 4:
Lím x -> -1 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}
Se calculan los límites laterales:
Lím x -> -1- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}= -135/0- = ∞
Lím x -> -1+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = -135/0+ = -∞
Lím x -> 4 {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]}
Se calculan los límites laterales:
Lím x -> 4- {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0- = -∞
Lím x -> 4+ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = 28/0+ = ∞
Si existen asíntotas en X = -1 y X = 4
Ahora se calculan las asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que:
f(x) = C y Lím x -> ±∞ f(x) = K
Evaluando el límite:
Lím x -> ±∞ {(35X – 100) / [(X – 4)*(2X + 2)]} = ∞/∞ (Indeterminado)
Se aplica L’Hopital:
Lím x -> ±∞ [35 / (4X – 6)] = 35 / ±∞ = 0
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en f(x) = 0.
Al existir asíntota horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota oblicua.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.
Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los puntos de inflexión hay que estudiar f’(x) y f’’(x).
f’(x) = (-35X^2 + 200x – 440) / [2*(X^2 – 3X – 4)^2]
f’’(x) = (35X^3 – 300X^2 + 1320X – 1720) / (X^2 – 3X – 4)^3
Para estudiar el crecimiento y decrecimiento se evalúa de modo que f’(x) >0 (crece) y f’(x) < 0 (decrece).
Los puntos de inflexión se dan cuando f’’(x) = 0.
Iniciando por los puntos de inflexión se tiene que:
f’’(x) = 0
(35X^3 – 300X^2 + 1320X – 1720) / (X^2 – 3X – 4)^3 = 0
Para que la división sea cero, el numerador debe ser cero, por lo tanto:
35X^3 – 300X^2 + 1320X – 1720 = 0
X = 2
Junto con los puntos del dominio se tiene que los puntos de inflexión son:
X1 = -1
X2 = 2
X3 = 4
Ahora se estudia el crecimiento o decrecimiento.
Como f’(x) siempre será un número menor a 0 para todo valor del dominio, se tiene que la función en cada momento es decreciente.
c) Esbozar la gráfica de la función.
Ahora se evalúa la concavidad y convexidad con el fin de la posterior construcción de la gráfica de la función.
Si f’’(x) > 0 es cóncava, si f’’(x) < 0 es convexa.
En el intervalo (-∞, -1):
f’’(-2) = [35(-2)^3 – 300(-2)^2 + 1320(-2) – 1720) / [(-2)^2 – 3(-2) – 4]^3 = -162,2 < 0 (convexa)
En el intervalo (-1, 2):
f’’(0) = [35(0)^3 – 300(0)^2 + 1320(0) – 1720) / [(0)^2 – 3(0) – 4]^3 = 1720/4 > 0 (cóncava)
En el intervalo (2, 4):
f’’(3) < 0 (convexa)
En el intervalo (4, ∞):
f’’(5) > 0 (cóncava)
Con estos datos es posible construir la gráfica, como se observa en la imagen adjunta.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.
