Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un r ́ıo.

El terreno debe tener 180 000 m2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qu ́e dimensiones tendr ́a
el terreno rectangular de modo que utilice la m ́ınima cantidad de valla, si el lado que da al r ́ıo no necesita
vallado?


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II

 

Debemos procurar que $P_{min} = x+2y$ sea un mínimo.

Por otro lado, tenemos que 

$x.y=180.000$ ⇒ $y= 180.000/x$

De esta forma, podemos plantear una función con una sola variable de la siguiente forma:

$P_{min}=x+2y=x+2 ( \frac{180000}{x}) =x+ \frac{360000}{x}$

Calculamos la derivada de $P_{min}$ y para que pueda ser un extremo, la igualamos a 0.

$P_{min}=1-360.000/x^2 =0$ ⇒ $x=$ $+- \sqrt{360.000} = +-600$

Calculamos la segunda derivada y sustituimos x=600 para comprobar que sea un mínimo .

  

$P''=(2x .360000)/x^4 =720000/x^3$  ⇒  $P'' (x=600)=1/300\ \textgreater \ 0$ ⇒ es un minimo 

En conclusión, las dimensiones son x= 600m ; y = 300 m