Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Determina
a, b, c sabiendo que la gr ́afica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de
inflexi ́on en (−1, 5).


Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II

Answer 1

Se deriva la función 2 veces.

 

f’(x) = 3x^2 + 2ax + b

 

f’’(x) = 6x + 2a

 

La condición de tangente horizontal en x = 1 quiere decir que f’(1) = 0.

 

f’(1) = 3(1)^2 + 2*a*1 + b = 0

 

3 + 2a + b = 0

 

La condición del punto de inflexión en P (-1, 5) es que f’’(-1) = 0 y f(-1) = 5

 

f’’(-1) = 6(-1) + 2a = 0

 

-6 + 2a = 0

 

a = 3

 

f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = 5

 

a – b + c – 6 = 0

 

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

 

a = 3

 

3 + 2a + b = 0

 

a – b + c – 6 = 0

 

Se sustituye a = 3 en la segunda ecuación:

 

3 + (2*3) + b = 0

 

b = -9

 

Se sustituye a y b en la tercera ecuación:

 

3 – (-9) + c – 6 = 0

 

c = -6

 

Solución:

 

a = 3

 

b = -9

 

c = -6

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.