Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Determina
a, b, c sabiendo que la gr ́afica de f tiene tangente horizontal en el punto de abscisa x = 1 y un punto de
inflexi ́on en (−1, 5).
Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas a la pregunta
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1
Se deriva la función 2 veces.
f’(x) = 3x^2 + 2ax + b
f’’(x) = 6x + 2a
La condición de tangente horizontal en x = 1 quiere decir que f’(1) = 0.
f’(1) = 3(1)^2 + 2*a*1 + b = 0
3 + 2a + b = 0
La condición del punto de inflexión en P (-1, 5) es que f’’(-1) = 0 y f(-1) = 5
f’’(-1) = 6(-1) + 2a = 0
-6 + 2a = 0
a = 3
f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = 5
a – b + c – 6 = 0
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
a = 3
3 + 2a + b = 0
a – b + c – 6 = 0
Se sustituye a = 3 en la segunda ecuación:
3 + (2*3) + b = 0
b = -9
Se sustituye a y b en la tercera ecuación:
3 – (-9) + c – 6 = 0
c = -6
Solución:
a = 3
b = -9
c = -6
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4 2015-2016 MATEMÁTICAS II.
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