Question

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que lim
x→0

1
e
x − 1
−
m
2x

es finito, calcula m y el valor del limite.

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015-2016, MATEMATICAS II

Answer 1

Se evalúa el límite.

 

Lim x->0 [(1/e^x – 1) – (m/2x)] = (1/e^0 – 1) – (m/2*0) = ∞ - ∞ (Indeterminado)

 

Se aplica una operación matemática.

 

Lim x->0 [2x – m(e^x – 1) / 2x(e^x – 1)]

 

Se evalúa el límite nuevamente.

 

Lim x->0 [2x – m(e^x – 1) / 2x(e^x – 1)] = 2*0 – m(e^0 – 1) / 2*0(e^0 – 1) = 0/0 (Indeterminado)

 

Se aplica L’Hopital.

 

Lim x->0 [(2 – me^x) / 2(e^x – 1) + 2xe^x]

 

Se evalúa el límite.

 

Lim x->0 [(2 – me^x) / 2(e^x – 1) + 2xe^x] = (2 – m*e^0)/[2(e^0 – 1) + 2*0*e^0] = (2 – m)/0

 

Como el enunciado del ejercicio explica que el límite es finito, eso quiere decir que m = 2.

 

(2 – 2)/0 = 0/0 (Indeterminado)

 

Lim x->0 [(2 – 2e^x) / 2(e^x – 1) + 2xe^x]

 

Se aplica L’Hopital.

 

Lim x->0 [- 2e^x / (2e^x + 2e^x – 2xe^x)]

 

Se evalúa el límite.

 

Lim x->0 [- 2e^x / (2e^x + 2e^x – 2xe^x)] = - 2e^0 / (2e^0 + 2e^0 – 2*0*e^0) = -2/(2 + 2) = -1/2

 

El valor del límite es de -1/2.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 MATEMÁTICAS II.