Question

Ejemplos del teorema de torricelli

Answer 1

Suponemos un recipiente de altura H colmado de un líquido ideal...

Hacemos un pequeño orificio a una profundad "h", desde la superficie libre del líquido...

El teorema de Torricelli establece que la velocidad de salida del líquido por este orificio es v = (2 g h)^(1/2) (raíz cuadrada)...

Una gota de líquido sale entonces disparada horizontalmente desde una altura H - h, medida desde el fondo del recipiente...

Estudiamos ahora un movimiento al vacío desde una altura dada con una velocidad horizontal...

En el eje horizontal el movimiento es rectilíno uniforme:

entonces x = v.t es el alcance horizontal...

En el eje veritical es una caída libre con velocidad vertical nula:..

y = (H - h) - 0.5 g t^2

Reemplazando t y v en la última expresión llegamos a:

y = H - h - 0,5 g x^2/(2gh)

Cuando el gota de líquido llega al piso, y = 0

Resolviendo para x resulta:

x = 2 (h(H - h))^(1/2) siendo x una función de h (posición del orificio)

En esta expresión, x depende de h. Luego, si h = 0 (orificio en la parte superior) x = 0...
Si h = H (orificio en la base del recipiente) x = 0

Es entonces obvio que entre los dos ceros para x, debe haber un alcance máximo...

Se trata ahora del problema de maximizar una función para lo que es necesario derivar x respecto de h, igualar a cero la derivada y despejar x de la relación:

La derivada resulta: (H - 2x)/(h(H - h))^(1/2);

Igualando a cero la última expresión se llega a que x es la mitad de la altura del recipiente...