Question

Ejemplo 2: Desde el extremo superior de una torre de 24 m de una altura se observan los puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37° y 53° respectivamente, si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre. Determinar la distancia entre dichos puntos.

Answer 1

La distancia entre los dos puntos A y B es de 14 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo 37-53 es lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos. El triángulo ACD donde el lado CD equivale a la altura de la torre, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base de la torre hasta el punto A el cuál es el más lejano de la base - a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la visual a dicho punto A con un ángulo de depresión de 37°. Y el triángulo BCD el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura de la torre, el lado CB que es la distancia desde la base de la torre hasta el punto B el cuál es el más cercano de la base, -a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la visual al punto B con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide determinar la distancia entre ambos puntos A y B

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el punto A, el más lejano desde la base de la torre

E "y" la distancia hasta el punto B, el más cercano de la base de la torre

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambos puntos A y B restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de 37° y de 53° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura de la torre- y conocemos los ángulos de depresión de 37° y de 53° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia x en ACD

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ torre \ }{ tan(37^o) } } }$

Cómo tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{3}{4} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ torre }{ \frac{3 }{4} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x= \frac{ 24 \ m }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ x = 24 \ m \ .\ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x= \ \frac{96 }{3} \ m} }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ x=32 \ metros } }$

La distancia x es de 32 metros

Hallamos la distancia y en BCD

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ torre \ }{ tan(53^o) } } }$

Cómo tenemos un ángulo notable

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{4}{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ torre \ }{ \frac{4}{3} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y= \frac{ 24 \ m }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ y = 24 \ m \ .\ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y= \ \frac{72 }{4} \ m} }$

$\large\boxed{\bold {distancia \ y=18 \ metros } }$

La distancia y es de 18 metros

Hallamos la distancia entre los dos puntos A y B

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ A \ y \ B = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ A \ y \ B = 32 \ m -\ 18 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ A \ y \ B = 14\ metros } }$

La distancia entre los dos puntos A y B es de 14 metros

Answer 2

Respuesta:

14

Explicación paso a paso:

según el de arriba