Question

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

AYUDA

(x^2+y^2 )dx+(x^2-xy)dy=0

Answer 1

Ordenemos

$(x^2+y^2)~dx+(x^2-xy)~dy=0\\\\\text{Pong\'amoslo en la siguiente forma: }\\ \\ \\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2+y^2}{xy-x^2}\\ \\\\\text{Escrib\'amoslo ahora de la siguiente forma a prop\'osito:}\\\\y'=\dfrac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}-1}\\ \\\\\text{Lo que nos sugiere la siguiente sustituci\'on: }\\\\z=\dfrac{y}{x}\to y=xz\to y'=z+xz'\\\\\text{Sustituyendo:}$

$z+xz'=\dfrac{1+z^2}{z-1}\to xz'=\dfrac{1+z^2}{z-1}-z\to xz'=\dfrac{z+1}{z-1}\\\\\\\text{Hasta aqu\'i tenemos una EDO separable:} \\ \\\dfrac{z-1}{z+1}dz=\dfrac{1}{x}dx \to (1-\dfrac{2}{z+1})~dz=\dfrac{1}{x}dx\\ \\\\\text{Integremos ambos miembros :}\\\\\displaystyle\,\int(1-2\dfrac{1}{z+1})~dz=\int\dfrac{1}{x}dx\\ \\ \\z-2\ln|z+1|=\ln|x|+c_0\\\\\text{Ahora resustituyamos z=\dfrac{y}{x} }\\\\\dfrac{y}{x}-2\ln|\dfrac{y}{x}+1|=\ln|x|+c_0\\\\\boxed{\dfrac{y}{x}-2\ln|x+y|+\ln|x|=c_0}$

Answer 2

Aplicando la técnica de solución de las ecuaciones diferenciales homogéneas, se obtiene la solución general de la ED planteada:

y / x  -  2 Ln(y / x  +  1)  -  Ln(x)  =  C

¿Qué es una ecuación diferencial homogénea?

Una ecuación diferencial (ed) Homogénea de grado n,  es aquella ED de la forma:

$\bold{M_{(x,y)}dx~+~N_{(x,y)}dy~=~0}$

donde las funciones M y N son homogéneas del mismo grado (n).

Para resolverla se reescribe como una derivada:

$\bold{\dfrac{dy}{dx}~=~-\dfrac{M_{(x,y)}}{N_{(x,y)}}}$

Luego, se expresa en términos de  (y/x)  dividiendo cada término entre x elevado al grado de homogeneidad.

Luego, se aplica el cambio de variable:

$\bold{v~=~\dfrac{y}{x}\qquad \Rightarrow \qquad y~=~vx \qquad \Rightarrow }$

$\bold{\dfrac{dy}{dx} ~=~v~+~x \dfrac{dv}{dx}}$

La nueva ed es de variables separables en v, x.

Veamos la ED planteada:

$\bold{(x^2~+~y^2)~dx~+~(x^2~-~xy)~dy~=~0}$

1.- La ed es homogénea de grado 2 porque todos sus términos tienen esta potencia. La escribimos como derivada:

$\bold{\dfrac{dy}{dx}~=~-\dfrac{(x^2~+~y^2)}{(x^2~-~xy)}}$

2.- Se expresa en términos de  y / x

$\bold{\dfrac{dy}{dx}~=~\dfrac{\dfrac{(x^2~+~y^2)}{x^2}}{\dfrac{(x^2~-~xy)}{x^2}}~=~\dfrac{1~+~\dfrac{y^2}{x^2}}{\dfrac{y}{x}~-~1}}$

3.- Se aplica el cambio de variable:

$\bold{v~+~x\dfrac{dv}{dx}~=~\dfrac{1~+~v^2}{v~-~1}}$

4.- Se opera para separar las variables y resolver:

$\bold{x\dfrac{dv}{dx}~=~\dfrac{1~+~v^2}{v~-~1}~-~v~=~\dfrac{1~+~v^2~-~v^2~+~v}{v~-~1}~=~\dfrac{v~+~1}{v~-~1}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\dfrac{(v~-~1)~dv}{(v~+~1)}~=~\dfrac{dx}{x}}$

5.- Integramos para obtener la solución general

$\bold{\int{\dfrac{(v~-~1)}{(v~+~1)}\,dv}~-~\int{\dfrac{dx}{x}\,}~=~0}$

La primera integral se resuelve dividiendo polinomios y aplicando el método de cambio de variable:

u  =  v  +  1         ⇒         du  =  dv

$\bold{\int{\dfrac{(v~-~1)}{(v~+~1)}\,dv}~=~\int{(1~-~\dfrac{2}{v~+~1})\,dv}~=~\int{dv}~-~\int{(\dfrac{2}{v~+~1})\,dv}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\int{\dfrac{(v~-~1)}{(v~+~1)}\,dv}~=~\int{dv}~-~\int{(\dfrac{2}{u})\,du}~=~v~-~2Ln(u)~=~v~-~2Ln(v~+~1)}$

$\bold{\int{\dfrac{dx}{x}\,}~=~Ln(x)}$

La solución general es:

v  -  2 Ln(v  +  1)  -  Ln(x)  =  C

Resolviendo el cambio de variable

y / x  -  2 Ln(y / x  +  1)  -  Ln(x)  =  C

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