Question

ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas, paso a paso ,por favor gracias

2/5 y^(´´)-4y^´+10y=0;si y(0)=1,y(1)=0

Answer 1

Pasando en limpio la ecuación diferencial homogénea de orden superior a coeficientes constantes planteada queda:

$\frac{2}{5}y''-4y'+10y=0$    (1)

En lo que sigue demostraremos que la solución a la ecuación diferencial solicitada es esta:

$y=e^{5x}-xe^{5x}$

Pero yendo paso a paso:

Se empieza proponiendo una solución del tipo:

$y=e^{\alpha.x}$          (2)

Donde $\alpha$ puede ser un número real o complejo que en lo que sigue hallaremos, en una ecuación diferencial de orden superior homogénea la solución general es una combinación lineal de exponenciales de ese tipo.

Pero sigamos. Reemplazamos la ecuación (2) en la (1), hallando las derivadas correspondientes:

$\frac{2}{5}\alpha^2e^{\alpha.x}-4\alpha.e^{\alpha.x}+10e^{\alpha.x}=0$

Divido por $e^{\alpha.x}$ en ambos miembros para hallar la ecuación auxiliar:

$\frac{2}{5}\alpha^2-4\alpha+10=0$

Resuelvo la ecuación cuadrática para hallar $\alpha$ :

$\alpha_{1,2}=\frac{4\±\sqrt{4^2-4.\frac{2}{5}.10 } }{2.\frac{2}{5}} =\frac{4\±\sqrt{0 } }{\frac{4}{5}}\\\alpha_{1,2}=5$

Tenemos una raíz doble en 5, esto significa que la solución será de tipo:

$y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}, C_1\epsilon R; C_2\epsilon R$

Al ser la única raíz hallada la solución general es:

$y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}, C_1\epsilon R; C_2\epsilon R$

Esto es una familia de curvas donde c1 y c2 pueden tomar cualquier valor real, nos dan valores en x=0 y x=1 que nos permiten individualizar una de esas curvas

$y(0)=C_1e^{5.0}+C_2.0.e^{5.0}=1\\y(0)=C_1=1\\C_1=1\\\\y(1)=C_1e^{5.1}+C_2.1.e^{5.1}=0\\y(1)=C_1e^{5}+C_2e^{5}=0\\C_1e^{5}=-C_2e^{5}\\C_1=-C_2\\1=-C_2\\C_2=-1$

Entonces la función buscada es:

$y=e^{5x}-xe^{5x}$