Question

ecuaciones diferenciales con transformada de laplace 2y''-4y=cos (t),y(0)=-1, y''(0)=-1

Answer 1

La solución de la ecuación (tomando en cuenta las condiciones iniciales en y(0) y y'(0)) es:

$y(t)=\frac{1}{2}*[cos(t)-sen(t)] +\frac{5}{2}*e^{t} -2$

Por medio de la transformada de Laplace, podemos determinar la ecuación diferencial en función de S.

$2y''(t)-4y(t)=cos(t)\\\\2*[S^{2}*Y(s)+S*y(o)+y'(0) ]-4*[S*Y(s)+y(0)]=\frac{S}{S^{2}+1 }$

Después de haber aplicado la transformada de Laplace, debemos despejar Y(s), en este caso la ecuación quedaría de la siguiente forma (luego de ser despejada):

$Y(s)=[\frac{S}{S^{2}+1 }+2*S-2]*\frac{1}{2*S*(S-1)}=\frac{1}{S*(S-1)*(S^{2} +1)} +\frac{1}{S-1} -\frac{1}{S*(S-1)}$

Al momento de hacer la anti transformada, dividimos el ejercicio en tres partes para simplificarlo. Tenemos tres términos y cada uno tiene una complejidad diferente. Es importante mantener el orden en estos ejercicios ya que es muy fácil confundirse y errar.

En el primer término tenemos que separarlo en función del denominador, con el objetivo de llevar esa fracción a una suma de fracciones que permitan conseguir transformadas ya definidas o "notables" :

$Y(S)_{1}=\frac{1}{S*(S-1)*(S^{2} +1)} = \frac{A}{S}+\frac{B}{S-1}+\frac{C*S+D}{S^{2} +1}$

En este caso debemos hallar los valores de A, B C y D. Para ello multiplicamos las fracciones y luego buscamos los coeficientes para cada uno de los casos, esto nos formará un sistema de ecuaciones, de tantas ecuaciones como términos haya en el numerador. En este caso se forman cuatro ecuaciones:

• A+B+C=0 --->provenientes de los coeficientes de $S^{3}$.
• -A-C+D=0
• A+B-D=0
• -A=1

De estas ecuaciones, tenemos que el primer término de toda nuestra solución queda

$Y(S)_{1}=-\frac{1}{S}+\frac{1}{2}*\frac{1}{S-1}   +\frac{1/2*S-1/2}{S^{2}+1}$

Si aplicamos la anti transformada de esto, tendremos que:

$y(t)_{1}=-1+\frac{1}{2}*e^{t}+\frac{1}{2}*[cos(t)-sen(t)]$

El segundo término de nuestra solución es mas sencillo, ya que podemos aplicarle la anti transformada directamente, tendremos que:

$\Y(S)_{2} =frac{1}{S-1}\\\\y(t)_{2}= e^{t}$

Para el caso del tercer término, tenemos que aplicar el mismo método del primero, pero en este caso es mas sencillo, tendremos que:

$Y(S)_{3}=\frac{1}{S*(S-1} =\frac{A}{S}+\frac{B}{S-1}$

En este caso tendremos 2 ecuaciones, las cuales resolveremos de la misma forma:

• A+B=0
• -A=1

Por lo que la ecuación queda de la siguiente manera:

$Y(S)_{3} = -\frac{1}{S}+\frac{1}{S-1}$

En este punto podremos aplicar la anti transformada de este término :

$y(t)_{3}= -1+e^{t}$

Por último, uniremos todos los términos para tener nuestra solución final, de la misma manera simplificaremos el resultado:

$y(t)=y(t)_{1} +y(t)_{2} +y(t)_{3} \\\\y(t)=\frac{1}{2}*[cos(t)-sen(t)] +\frac{5}{2}*e^{t} -2$