Question

Ecuaciones Diferenciales aplicando transformada de Laplace
Dar solución a las siguientes Ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace.
c) y^''-2y^'+y=te^t,y(0)=0,y^' (0)=0
Urgente, gracias.

Answer 1

Respuesta:

$y(t)=\frac{1}{6}t^{3}e^{t}$

Explicación:

$y''-2y'+y=te^{t}; \,\,\,\,\,\,\,\,y(0)=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'(0)=0$

tomamos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación

$\mathcal{L} \{y''\}(s)-2 \mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{te^{t} \}$

$s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)-2(sY(s)-y(0))+Y(s)=\frac{1}{(s-1)^{2} }$

$s^{2}Y(s)-2sY(s)+Y(s)=\frac{1}{(s-1)^{2} }$

$(s^{2}-2s+1)Y(s)=\frac{1}{(s-1)^{2} }$

$Y(s)=\frac{1}{(s^{2} -2s+1)(s-1)^{2} }=\frac{1}{(s-1)^{2}(s-1)^{2} }=\frac{1}{(s-1)^{4}}$

determinamos la transformada inversa de Laplace

$\mathcal{L} ^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L} ^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^{4} } \}$

el factor $(s-1)^{4}$ en el denominador sugiere trabajar con la fórmula

$\mathcal{L} ^{-1}\{\frac{n!}{(s-a)^{n+1} } \}(t)=e^{at} t^{n}$

aquí, tenemos $a=1$ y $n=3$, así:

$\mathcal{L} ^{-1}\{\frac{6!}{(s-1)^4} } \}(t)=e^{t} t^{3}$

usando la propiedad de linealidad encontramos que:

$\mathcal{L} ^{-1}\{\frac{1}{(s-1)^4} } \}(t)=\frac{1}{6} \mathcal{L} \{\frac{3!}{(s-1)^{4} } \} =\frac{1}{6} e^{t} t^{3}$

por lo tanto

$y(t)=\frac{1}{6}t^{3}e^{t}$