Question

Ecuaciones diferenciales aplicando transformada de Laplace
Explicación paso a paso

y"+y' - 2y = 1 - 2t y(0) = 0, y'(0) = 4
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Answer 1

Respuesta:

$y(t)=t-e^{-2t}+e^{t}$

Explicación paso a paso:

Dada la ecuación diferencial

$y^{''}+y^{'}-2y=1-2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y(0)=0, \,\,\,\,y^{'}(0)=4$

aplicamos la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación obteniendo

$s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{'}(0) +sY(s)-y(0)-2Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}}$

$s^{2}Y(s)-4 +sY(s)-2Y(s)=\frac{s-2}{s^{2} }$

$(s^{2}+s-2)Y(s)=\frac{s-2}{s^{2} }+4 \\(s^{2}+s-2)Y(s)=\frac{4s^{2} +s-2}{s^{2} } \\Y(s)=\frac{4s^{2} +s-2}{s^{2} (s^{2}+s-2)}=\frac{ 4s^{2}+s-2 }{s^{2}(s+2)(s-1)}$

Expandiendo en fracciones parciales obtenemos

$Y(s)=\frac{ 4s^{2}+s-2 }{s^{2}(s+2)(s-1)}=\frac{A}{s^{2} }+\frac{B}{s}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{s-1}$

Usando el método del residuo obtenemos

$A=s^{2}G(s)|_s_=_0 =\left \frac{4s^{2} +s-2}{(s+2)(s-1)}\left|_{s=0}=\frac{(-2)}{(2)(-1)} =1$

$B=\frac{d}{ds}[ s^{2} G(s)]\left|_{s=0}=\frac{d}{ds}(\frac{4s^{2} +s-2}{s^{2} +s-2} )\left|_{s=0}=0$

$C=(s+2)G(s)|_{s=-2}=\frac{4s^{2} +s-2}{s^{2} (s-1)}|_{s=-2}=\frac{4(-2)^{2} +(-2)-2}{(-2)^{2} (-3)}=-1$

$D=(s-1)G(s)|_{s=1}=\frac{4s^{2} +s-2}{s^{2} (s+2)}|_{s=1}=\frac{4(1)^{2} +1-2}{(1)^{2} (3)}=1$

Por lo tanto

$Y(s)=\frac{1}{s^{2} }-\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s-1}$

al aplicar la transformada inversa de Laplace obtenemos

$y(t)=t-e^{-2t}+e^{t}$