Matemáticas, pregunta formulada por sikac, hace 1 año

Ecuaciones diferenciales :
(1- x^{3<br />
} )dy/dx-3 x^{2} y=0


sikac: si Asi

Respuestas a la pregunta

Contestado por F4BI4N
1
Hola :D ,
Estas son las ecuaciones diferenciales "más sencillas" ya que es integrar respecto a x e  y , dejas todo lo que tiene a y a un lado y todo lo que tiene x al otro , luego resuelves las integrales , a este nivel ya debes saber integrar bien:

(1-x^{3})  \frac{dy}{dx} - 3x^{2}y = 0 \\ \\
(1-x^{3})  \frac{dy}{dx} = 3x^{2}y \\ \\
 \frac{dy}{dx} =  \frac{3x^2y}{(1-x^3)}\\ \\
 \frac{dy}{y} =    \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx / \int\ \,  \\ \\
 \int\ \frac{dy}{y}\, =  \int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx \  \\ \\

\int\ \frac{dy}{y}\, = \int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx \ \\ \\
\int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx =&gt; u = x^{3} \ \ \ du = 3x^{2}dx \\ \\
 \int\ \frac{du}{1-u} = -ln(1-u) = -ln(1-x^{3}) \\ \\
Reemplazando: \\
ln(y)= -ln(1-x^{3})+k  / e^{()} \\
y =  \frac{M}{1-x^{3}} \\
Donde \ M = e^{k}

Saludos,cualquier consulta me avisas .

sikac: Gracias :D
Contestado por RVR10
0
Resolver la siguiente Ecuación Diferencial:
(1-x^{3}) \frac{dy}{dx}-3x^{2}y=0

Claramente es una ED por variables separables:

⇒  (1-x^{3}) \frac{dy}{dx}=3x^{2}y

⇒  (1-x^{3})dy=3x^{2}ydx

⇒  \frac{1}{y}dy = \frac{3x^{2}}{1-x^{3}} dx

Integrando en ambos miembros:

⇒   \int\limits {\frac{1}{y}} \, dy= \int\limits {\frac{3x^{2}}{1-x^{3}}} \, dx

⇒  ln|y|= -\int\limits {\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}} \, dx +k_{1}

Pero en la integral del segundo miembro notamos que: 2x^2dx es la diferencial de x^3-1, entonces:

⇒  ln|y|= -ln|x^{3}-1| +k_{2}

⇒  ln|y|= ln| \frac{1}{x^{3}-1} | +k_{2}

Luego escribiendo como potencia en base "e":

⇒  e^{ln|y|}=e^{ ln| \frac{1}{x^{3}-1} |}. e^{k_{2}}

.·.   y= \frac{k_{3}}{x^{3}-1}   ;   k_{3}=e^{k_{2}}
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