ecuaciones de segundo grado con dos incognitas
delossantosmvz:
Tengo el mismo problema! U.U
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5
Mira,
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0...(1)
x² + y² - 2x = 0...(2)
Ambas son ecuaciones de dos circunferencias.
Primero multiplicamos la ecuación (2) por -1 se la sumamos a la ecuación (1) y tenemos que:
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0
- x² - y² + 2x = 0
-----------------------------------
- 4x - 4y + 2x + 4 = 0 => - 2x - 4y + 4 = 0
Despejamos 'y' y tenemos que:
4y = -2x + 4 => y = (- x / 2) + 1...(3)
Sustituimos (3) en (2) y tenemos que:
x² + y² - 2x = 0
x² + [(- x / 2) + 1]² - 2x = 0
x² + (- x / 2)² + 2(- x / 2)(1) + (1)² - 2x = 0
x² + (x² / 4) - x + 1 - 2x = 0
x² + (x² / 4) - 3x + 1 = 0
Multiplicamos en ambos lados de la igualdad por (4) y tenemos que:
4x² + x² - 12x + 4 = 0
5x² - 12x + 4 = 0
Por fórmula general llegamos a que:
x1 = 2...(4)
x2 = 2 / 5...(5)
Para obtener la correspondiente coordenada en el eje 'y' sustituimos las ecuaciones (4) y (5) en (3).
Sustituimos (4) en (3)
y = (- x / 2) + 1
y1 = (- x1 / 2) + 1
y1 = (- 2 / 2) + 1
y1 = - 1 + 1
y1 = 0
Por lo que un punto de intersección es:
P1 = (x1, y1) = (2, 0)
Sustituimos (5) en (3)
y = (- x / 2) + 1
y2 = (- x2 / 2) + 1
y2 = [- (2 / 5) / 2] +1
y2 = [- 2 / 10] + 1
y2 = [- 1 / 5] + 1
y2 = (- 1 + 5) / 5
y2 = 4 / 5
Por lo que el otro punto de intersección es:
P2 = (x2, y2) = (2 / 5, 4 / 5) = (0.4, 0.8)
Así, los puntos dónde se interceptan (1) y (2) son:
>> P1 = (2, 0)
>> P2 = (0.4, 0.8)
==============
COMPROBACIÓN
==============
Para comprobar que las gráficas de las ecuaciones (1) y (2) se interceptan en P1 y P2 debemos sustituir cada punto en ambas ecuaciones y ver que las satisfacen.
Solo voy ha hacer la comprobación para el punto P2 y te dejo que hagas la comprobación para el punto P1.
===================================
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 si P = (x, y) = (0.4, 0.8)
===================================
Sustituimos el punto P2 = (0.4, 0.8) en la ecuación (1):
(0.4)² + (0.8)² - 4(0.4) - 4(0.8) + 4 = 0
0.16 + 0.64 - 1.6 - 3.2 + 4 = 0
0.8 - 4.8 + 4 = 0
4.8 - 4.8 = 0
0 = 0
=============================
x² + y² - 2x = 0 si P = (x, y) = (0.4, 0.8)
=============================
Sustituimos P2 = (0.4, 0.8) en la ecuación (2):
(0.4)² + (0.8)² - 2(0.4) = 0
0.16 + 0.64 - 0.8 = 0
0.8 - 0.8 = 0
0 = 0
Como el punto P2 es punto de las ecuaciones (1) y (2) entonces es punto de intersección de ambas.
Solo resta hacer la comprobación para el punto P1 = (2, 0).
Puedes descarga winplot (programa gratuito) para gráficar las ecuaciones (1) y (2) y ver gráficamente en donde se interceptan las dos funciones, solo tienes que apretar la tecla F2 (te va ha aparecer una ventana) e ir al menú Ecua y seleccionar Implícita y metes la primera ecuación como xx + yy - 4x - 4y + 4 = 0, para la ecuación (2) vuelves a al menú Ecua y seleccionas Implícita y metes la segunda ecuación como xx + yy - 2x = 0.
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0...(1)
x² + y² - 2x = 0...(2)
Ambas son ecuaciones de dos circunferencias.
Primero multiplicamos la ecuación (2) por -1 se la sumamos a la ecuación (1) y tenemos que:
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0
- x² - y² + 2x = 0
-----------------------------------
- 4x - 4y + 2x + 4 = 0 => - 2x - 4y + 4 = 0
Despejamos 'y' y tenemos que:
4y = -2x + 4 => y = (- x / 2) + 1...(3)
Sustituimos (3) en (2) y tenemos que:
x² + y² - 2x = 0
x² + [(- x / 2) + 1]² - 2x = 0
x² + (- x / 2)² + 2(- x / 2)(1) + (1)² - 2x = 0
x² + (x² / 4) - x + 1 - 2x = 0
x² + (x² / 4) - 3x + 1 = 0
Multiplicamos en ambos lados de la igualdad por (4) y tenemos que:
4x² + x² - 12x + 4 = 0
5x² - 12x + 4 = 0
Por fórmula general llegamos a que:
x1 = 2...(4)
x2 = 2 / 5...(5)
Para obtener la correspondiente coordenada en el eje 'y' sustituimos las ecuaciones (4) y (5) en (3).
Sustituimos (4) en (3)
y = (- x / 2) + 1
y1 = (- x1 / 2) + 1
y1 = (- 2 / 2) + 1
y1 = - 1 + 1
y1 = 0
Por lo que un punto de intersección es:
P1 = (x1, y1) = (2, 0)
Sustituimos (5) en (3)
y = (- x / 2) + 1
y2 = (- x2 / 2) + 1
y2 = [- (2 / 5) / 2] +1
y2 = [- 2 / 10] + 1
y2 = [- 1 / 5] + 1
y2 = (- 1 + 5) / 5
y2 = 4 / 5
Por lo que el otro punto de intersección es:
P2 = (x2, y2) = (2 / 5, 4 / 5) = (0.4, 0.8)
Así, los puntos dónde se interceptan (1) y (2) son:
>> P1 = (2, 0)
>> P2 = (0.4, 0.8)
==============
COMPROBACIÓN
==============
Para comprobar que las gráficas de las ecuaciones (1) y (2) se interceptan en P1 y P2 debemos sustituir cada punto en ambas ecuaciones y ver que las satisfacen.
Solo voy ha hacer la comprobación para el punto P2 y te dejo que hagas la comprobación para el punto P1.
===================================
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 si P = (x, y) = (0.4, 0.8)
===================================
Sustituimos el punto P2 = (0.4, 0.8) en la ecuación (1):
(0.4)² + (0.8)² - 4(0.4) - 4(0.8) + 4 = 0
0.16 + 0.64 - 1.6 - 3.2 + 4 = 0
0.8 - 4.8 + 4 = 0
4.8 - 4.8 = 0
0 = 0
=============================
x² + y² - 2x = 0 si P = (x, y) = (0.4, 0.8)
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Sustituimos P2 = (0.4, 0.8) en la ecuación (2):
(0.4)² + (0.8)² - 2(0.4) = 0
0.16 + 0.64 - 0.8 = 0
0.8 - 0.8 = 0
0 = 0
Como el punto P2 es punto de las ecuaciones (1) y (2) entonces es punto de intersección de ambas.
Solo resta hacer la comprobación para el punto P1 = (2, 0).
Puedes descarga winplot (programa gratuito) para gráficar las ecuaciones (1) y (2) y ver gráficamente en donde se interceptan las dos funciones, solo tienes que apretar la tecla F2 (te va ha aparecer una ventana) e ir al menú Ecua y seleccionar Implícita y metes la primera ecuación como xx + yy - 4x - 4y + 4 = 0, para la ecuación (2) vuelves a al menú Ecua y seleccionas Implícita y metes la segunda ecuación como xx + yy - 2x = 0.
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4
pues primero despejando una letra
por ejemplo:
2a+b=9
a+2b= -8
a=2b-8
2(2b-8)+b=9
4b-16+b=9
5b - 16=9
5b=9+16
5b=25
b=25/5
b=5
a+2(5)= -8
a+10= -8
a= -8+10
a=2
por ejemplo:
2a+b=9
a+2b= -8
a=2b-8
2(2b-8)+b=9
4b-16+b=9
5b - 16=9
5b=9+16
5b=25
b=25/5
b=5
a+2(5)= -8
a+10= -8
a= -8+10
a=2
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