Question

(ecuaciones de 2° grado) La suma de las edades de ana y pedro es 12 años y su producto 20 años averigua las edades de ambos

Answer 1

La edad de Ana, la denotaremos con la variable "x" y la edad de Pedro la denotaremos con la variable "y", el enunciado nos dice que la suma de las edades de ambos da 12, esto matemáticamente se expresa como:

x + y = 12

A esta ecuación la llamaremos ecuación 1

Luego nos dicen que el producto (multiplicación) entre sus edades da como resultado 20, lo cual matemáticamente se expresa así:

xy = 20


A esta ecuación la llamaremos ecuación 2

De la ecuación 2, despejamos cualquier variable a elección; en este caso, decidí despejar x.

x = 20/y

Este valor de x lo podemos reemplazar en la ecuación 1, ya que nos referimos a las mismas variables "x" y "y".

20/y + y = 12  (Nótese el reemplazo de x por su valor anteriormente hallado)

Operamos algebráicamente y despejamos y:

(20y + y^2)/y = 12
20 + y^2 = 12y

y^2 - 12y + 20 = 0

A esta ecuación ordenada la llamaremos ecuación 3

Esta ultima es una ecuación de segundo grado, para resolverla debemos factorizar como sigue:

(y - ...)(y - ...) = 0 

A esta ecuación la llamaremos ecuación 4

El primer signo, marcado con negrita, corresponde al primer signo de la ecuación 3, y el segundo signo; corresponde a la multiplicación entre los signos intermedios de la ecuación ordenada 3, en este caso (-)*(-) = (-).

Al ser los signos iguales en la ecuación 4, planteamos el razonamiento: "encontrar dos números que multiplicados me den 20 (termino independiente en ecuación 3) y sumados (signos iguales) resulten en 12 (termino intermedio en ecuación 3)"

Estos números resultan ser: 10 y 2; reemplazamos en ecuación 4:

(y - 10)(y - 2) = 0

Lo cual resulta en dos posibles soluciones:

y - 10 = 0 ó y - 2 = 0

de la primera condición y = 10
de la segunda condición y = 2
 
Estos son los valores de y (la edad de Pedro), para encontrar la edad de Ana, "x" y verificarlos, reemplazamos los valores de "y" en cualquiera de las dos primeras ecuaciones; en mi caso, decidí reemplazar en ecuación 1:

x + y = 12

Si y = 10:

x + 10 = 12
x = 2

Si y = 2:

x + 2 = 12
x = 10

De esto se concluye que las edades "x" y "y" que cumplen las condiciones del enunciado; son dos y son las siguientes:

(x,y) = (10,2) respectivamente
(x,y) = (2,10) respectivamente