Question

ecuación general de la parabola, por favor.

Answer 1

En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:

Existe solamente una variable al cuadrado (x2 o bien y2) y otra lineal.

El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice).

Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la parábola es una ecuación de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de este tipo.

Obtención de la ecuación general de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)2 = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x2 – 2hx + h2 = 4py – 4pkx2 – 2hx + h2 – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax2 – 2Ahx + Ah2 – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax2 – 4Apy – 2Ahx – Ah2 + 4Apk = 0Ax2 – 4Apy – 2Ahx + A(h2 + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B–2Ah = CA(h2 + 4pk) = D