Question

e) CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
¿Cuál es la carga q(t) en el capacitor en t=0.01 en un circuito LRC cuando L= 0.2 henry (h), R =5 ohms (Ω), C = 0.002 farad (f), E(t) =0, q(0)=1 coulombs (C) e i(0) = 0?.

Explicacion paso a paso gracias

Answer 1

Cuando pasaron 0,01 segundos, la carga en el capacitor del circuito RLC es de 0,78 C.

¿Cómo hallar la carga en el capacitor en un cierto tiempo?

Si la tensión de alimentación es de 0V, estamos en presencia de la descarga del capacitor. Podemos, aplicando la segunda ley de Kirchoff hallar la suma de las tensiones en el circuito:

$i.R+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int\limits^t_0 {i} \, dt+v_c(0)=0$

Podemos poner toda la ecuación diferencial del circuito en función de la carga eléctrica que circula, asumiendo que toda ella proviene del capacitor:

$i=\frac{dq}{dt}\\\\R\frac{dq}{dt}+L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}+q(0)=0\\\\\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=-q(0)$

Podemos proponer como solución $q(t)=e^{\alpha.t}$, entonces queda un polinomio asociado de grado 2 con el que resolvemos la ecuación homogénea asociada:

$\alpha^2+\frac{R}{L}\alpha+\frac{1}{LC}=0\\\\\alpha=\frac{-\frac{R}{L}\ñ\sqrt{(\frac{R}{L})^2-\frac{4}{LC}}}{2.1}\\\\\alpha=\frac{-\frac{5\Omega}{0,2H}\ñ\sqrt{(\frac{5\Omega}{0,2H})^2-\frac{4}{0,2H.0,002F}}}{2}\\\\\alpha=-12,5\ñ\j48,4$

La solución general es una combinación lineal de las soluciones para cada valor de $\alpha$, por lo que queda:

$q(t)=A.e^{(-12,5+j48,4)t}+B.e^{(-12,5-j48,4)t}\\\\q(t)=A.e^{-12,5t}.e^{j48,4t}+B.e^{-12,5t}.e^{-j48,4t}\\\\q(t)=e^{-12,5t}(A.e^{j48,4t}+Be^{-j48,4t})\\\\q(t)=e^{-12,5t}(A.(cos(48,4t)+j.sen(48.4t))+B(cos(48,4t)-j.sen(48.4t)))$

Como la función tiene que ser real, tiene que ser A.sen(48,4t)-B.sen(48,4t)=0, entonces queda A=B. Entonces, la ecuación de la carga queda:

$q(t)=2A.e^{-12,5t}.cos(48,4t)$

Como en t=0, la carga en el capacitor es de 1C, queda:

$1C=2A.\\\\A=0,5C\\\\q(t)=1C.e^{-12,5t}.cos(48,4t)$

Con esta ecuación podemos hallar la carga en el capacitor cuando pasaron 0,01 segundos:

$q(0,01s)=1C.e^{-12,5.0,01s}.cos(48,4.0,01s)\\\\q(0,01s)=0,78C$

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