Question

dy/dx=y2-1/x^2-1 y(2)=2 ayudaaaaa, solo sé que es por separación de variables

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial es y=x

Explicación paso a paso:

La ecuación se puede resolver por separación de variables, pasándola en limpio queda:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{x^2-1}$

Efectuamos la separación de variables y queda:

$\frac{dy}{y^2-1}=\frac{dx}{x^2-1}$

La única forma de proseguir es la descomposición en ambos miembros en fracciones simples.

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\\\\A(x-1)+B(x+1)=1\\Ax+Bx=0=>A+B=0\\B-A=1$

Nos queda resolver el sistema de ecuaciones, si sumamos ambas nos queda:

$2B=1\\\\B=\frac{1}{2}$

Y si las restamos queda:

$2A=-1\\A=-\frac{1}{2}$

La ecuación diferencial queda:

$(\frac{-1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1})dx=(\frac{-1/2}{y+1}+\frac{1/2}{y-1})dy\\\\(\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x-1})dx=(\frac{-1}{y+1}+\frac{1}{y-1})dy$

Si integramos en ambos miembros queda:

$-ln(\frac{1}{x+1})+ln(\frac{1}{x-1})+C_1=-ln(\frac{1}{y+1})+ln(\frac{1}{y-1})+C_2\\\\ln(x+1)-ln(x-1)+C_1=ln(y+1)-ln(y-1)+C_2\\\\\frac{x+1}{x-1}.C=\frac{y+1}{y-1}$

Ahora despejamos 'y':

$(y-1)(\frac{x+1}{x-1}.C)=y+1\\\\y.C(\frac{x+1}{x-1})-(\frac{x+1}{x-1}).C=y+1\\\\y.C(\frac{x+1}{x-1}})-y=1+\frac{x+1}{x-1}.C\\\\y=\frac{1+\frac{x+1}{x-1}.C}{\frac{x+1}{x-1}.C-1}\\\\y=\frac{x(1+C)+C-1}{x(C-1)+1+C}$

La función quedó con esa expresión, ahora queda hallar el valor de la constante C:

$2=\frac{2(1+C)+C-1}{2(C-1)+1+C}\\\\2=\frac{2+2C+C-1}{2C-2+1+C}=\frac{1+3C}{3C-1}\\\\6C-2=3C+1\\C=1$

Entonces la función queda:

$y=x$