Question

Doy coronita a quien lo responda bien
10. Un globo esférico se infla con gas a una razón de 3600 cm3/s. ¿Cuál será el ritmo de crecimiento del radio cuando éste mida 25 cm?

Answer 1

El globo es esférico. Eso quiere decir que su volumen (el de una esfera) se calcula con la siguiente fórmula:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

*Donde r es el radio.

Pero el volumen no es constante. Está cambiando a una razón de 3600 cm^3/s, es decir:

$\frac{dV}{dt} =3600\frac{cm^3}{s}$

El volumen cambia respecto al tiempo, porque el radio también cambia respecto al tiempo (ambos dependen del tiempo). Entonces, ahora derivamos la fórmula de volumen respecto del tiempo:

$\frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi (3r^2)\frac{dr}{dt}\\\\\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

Y lo que nos piden es el ritmo de crecimiento del radio respecto del tiempo, es decir dr/dt, cuando el radio es de 25cm, asi que despejando y sustituyendo obtenemos:

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\\\\\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2} \frac{dV}{dt}\\\\\frac{dr}{dt}=\frac{3600 cm^{3}/s}{4\pi (25cm)^2}\\\\\frac{dr}{dt}=0.4583\frac{cm}{s}$

Respuesta: $0.4583\frac{cm}{s}$