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Para qué valor o valores de k, la ecuación 2x²– kx + 3 = 0 tiene dos raíces reales y distintas?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Ecuación de segundo grado: discusión de las raíces
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Categoría: 1º Bachillerato
Publicado el Miércoles, 15 Febrero 2012 01:29
Escrito por Mariano Herrero
La fórmula de la ecuación de segundo grado tiene una raíz cuadrada, por lo que la naturaleza de las raíces viene determinada por el radicando b2 – 4ac, que se se llama discriminante.
A qué llamamos Discriminante de un polinomio
Es una condición que han de satisfacer los coeficientes de un polinomio, para que éste tenga raíces múltiples. Así el discriminante del polinomio cuadrático ax2 + bx + c (ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0) se simboliza por la letra griega delta Δ, y vale Δ = b2 – 4ac.
Según el valor del dicriminante Δ = b2 – 4ac sea mayor, igual o menor que cero se verifica:
- Si Δ = b2 – 4ac > 0 entonces hay dos raíces reales distintas.
- Si Δ = b2 – 4ac = 0 entonces hay una raíz doble (dos raíces reales iguales).
- Si Δ = b2 – 4ac < 0 entonces no hay raíces reales (dos raíces imaginarias conjugadas).
Ejemplo 1: Dada la ecuación 2x2 –3x + k + 2 = 0, determina el valor de k para que las raíces (soluciones) sean iguales.
Tenemos a = 2; b = – 3; c = k + 2;
Para que las soluciones sean iguales el discriminante ha de ser CERO: Δ = b2 – 4ac = 0, sustituyendo los valores =>
Δ = (–3)2 – 4·2·(k + 2) = 0 => 9 – 8·(k + 2) = 0 => 9 – 8k – 16 = 0 => – 8k – 7 = 0 => – 8k = 7 => k = –7/8
Si k = –7/8 las dos raíces son iguales (una raíz doble).
Ejemplo 2: Dada la ecuación 4x2 – kx + 2k –7 = 0, estudiar sus soluciones según los valores de k
Tenemos a = 4; b = – k; c = 2k – 7.
Para ello, hallamos el discriminante Δ = b2 – 4ac = (– k)2 – 4·4(2k – 7) = k2 – 16(2k – 7) = k2 – 32k + 112
Este discriminante a su vez es una ecuación de segundo grado en k; debemos encontrar los valores de k que la hacen menor, igual o mayor que CERO.
Se hallan resolviendo la ecuación de segundo grado: k2 – 32k + 112 = 0, => los coeficientes son a = 1; b = –32; c = 112
Puesto que el coeficiente b es par y un número no pequeño utilizamos la fórmula mitad: b´ = –32/2 = –16:
Ecuación de segundo grado en k
Por tanto la descomposición factorial es: k2 – 32k + 112 = (k – 4)(k –28)
Si ponemos las raíces entre (– ∞, ∞) en orden creciente – ∞ 4 28 ∞ obtenemos los intervalos (–∞ , 4), (4, 28) y (28, ∞)
Dando un valor cualquiera a k dentro de cada intervalo en la ecuación k2 – 32k + 112 = (k – 4)(k –28) obtenemos un valor positivo o negativo en ese intervalo, que nos determina la naturaleza de las raíces.
En el intervalo (– ∞, 4) damos el valor k = 0 => k2 – 32k + 112 = 112 > 0 (positivo)
En (4, 28) damos el valor k = 10 => k2 – 32k + 112 = 100 – 320 + 112 = – 108 < 0 (negativo)
En (28, ∞) hacemos k = 30 => 900 – 960 + 112 = 52 > 0 (positivo)
Por tanto si k €(– ∞, 4) o k € (28, ∞) => Δ = b2 – 4ac > 0 => Dos soluciones reales distintas
Si k = 4 ó k = 28 => Δ = 0 => Dos raíces reales iguales (una raíz real doble).
Si k € (4, 28) => el discriminante Δ < 0 => No hay soluciones reales (hay dos soluciones imaginarias conjugadas).
Explicación paso a paso: